Меню

Вычислить токи методом напряжения



ЛЕКЦИЯ 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

4. Составим (n −1) = 2 −1=1 уравнение по первому закону Кирхгофа:

5. Дописываем два недостающих уравнения по второму закону Кирхгофа. Рекомендуют составлять уравнения для «главных», не содержащих в

себе других контуров. Направление обхода разных контуров может быть раз-

Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке. Тогда

−U2 +U3 = E .

Подставив выражения напряжений по закону Ома, получим следующую систему уравнений:

6. Решением системы находим токи.

Систему уравнений по законам Кирхгофа можно записать в матричной форме следующим образом:

где [a] – квадратная матрица коэффициентов; [I ] – матрица-столбец неиз-

вестных токов ветвей; [F] – матрица-столбец активных параметров, которы-

ми являются токи источников тока и ЭДС.

Уравнения в системе не однотипны, так как записаны на основании двух разных законов. В уравнениях по первому закону Кирхгофа коэффициенты aij безразмерны и могут принимать значения ±1 или 0. В правой части Fj = ΣJ .

В уравнениях по второму закону Кирхгофа коэффициенты aij имеют размерность сопротивления, Fi = ΣE . Если j – ветвь входит в i -тый контур, для которого составлено уравнение, то aij = ±Rij , не входит – aij = 0 .

Для рассмотренного примера

–1 –1 I1 –J
[ а ] = R1 R2 ; [ I ] = I2 ; [ F ] = E1
−R2 R3 I3 E3

Расчет по законам Кирхгофа является универсальным, но громоздким.

Поэтому на его основе разработаны методы, позволяющие упростить решение.

2. Метод узловых потенциалов.

В качестве промежуточных неизвестных принимают потенциалы узлов.

Потенциал – функция многозначная, поэтому потенциал одного из уз-

лов принимают равным нулю. Рационально заземлять узел, в котором схо-

дится максимальное число ветвей.

Уравнения составляют на основании первого закона Кирхгофа. В них

подставляют значения токов, выраженные по закону Ома для активной и пас-

сивной ветвей. Число уравнений равно числу незаземленных узлов. Систему

можно записать в трафаретном виде:

где G11 , G22 , . Gmm – собственные проводимости узлов, равные сумме проводимостей ветвей, соединяющихся в соответствующем узле; G12 , G21 ,

G13 , . – общие проводимости между двумя узлами, равные сумме проводи-

мостей ветвей, соединяющих эти узлы; J11, J22 , . Jmm – узловые токи, рав-

ные алгебраической сумме произведений проводимостей активных ветвей на

ЭДС этих ветвей и токов источников тока, соединяющихся в этом узле.

С положительным знаком берут ЭДС и токи, направленные к узлу.

Составим систему уравнений для схемы на рис. 3.2:

Читайте также:  Электродвигатель с напряжением 24в

Решением системы уравнений определим потенциалы узлов. Затем рассчитаем токи ветвей по закону Ома:

3. Метод напряжения между двумя узлами.

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов и применим для схемы с двумя узлами.

Так как потенциал одного из узлов принимают равным нулю, то потенциал второго узла равен напряжению между этими узлами.

Если принятьV2 = 0 , то трафаретная система даёт одно уравнение:

Формулу для определения напряжения между двумя узлами в общем виде можно записать следующим образом:

где Gi − проводимости ветвей; n − число ветвей, содержащих источники ЭДС с отличными от нуля проводимостями; m − число ветвей, содержащих источники тока; l − число ветвей без источников тока.

Число слагаемых в числителе равно числу активных ветвей. С положительным знаком записывают Е и J, направленные к первому в индексе напряжения узлу. Сумма в знаменателе формулы – арифметическая.

Вычислив напряжение между двумя узлами, по закону Ома для ветви находят токи.

4. Метод эквивалентных преобразований схем с последовательно параллельным соединением приемников.

Метод эквивалентных преобразований применяют как самостоятельный для расчета токов в схемах с одним источником энергии и несколькими приемниками. Его можно использовать и для упрощения частей сложной схемы при расчетах другими методами.

Все приемники заменяют одним с эквивалентным сопротивлением.

При этом токи и напряжения в частях схемы, не затронутых преобразовани-

ем, должны оставаться неизменными.

Находят токи в свернутой схеме. Затем возвращаются к исходной схеме с определением остальных токов.

Преобразование схемы проводят постепенно, рассматривая участки с последовательными и параллельными соединениями приемников. Предвари-

тельно нужно выявить узлы и ветви. Элементы, принадлежащие одной ветви,

соединены между собой последовательно. В них один ток. Эквивалентное

сопротивление последовательно соединенных резисторов равно сумме их со-

При параллельном соединении элементы схемы замещения находятся под одним напряжением и соединены между собой двумя выходными зажимами. Эквивалентная проводимость параллельно соединенных резисторов

равна сумме их проводимостей:

В свернутой схеме ток определяют по закону Ома:

При возвращении к исходной схеме с определением остальных токов удобно пользоваться формулой для определения тока в одной из двух парал-

лельно соединенных пассивных ветвей.

Ток в одной из двух параллельно соединенных пассивных ветвей про-

порционален току в неразветвленной части схемы. В числителе коэффициен-

Читайте также:  Бег снимает напряжение с мышц

та пропорциональности записывают сопротивление другой пассивной ветви,

в знаменателе – сумму сопротивлений двух пассивных ветвей.

ЛЕКЦИЯ 4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

План лекции

1. Метод эквивалентных преобразований для расчета схем с трехполюсниками

2. Метод наложения

3. Метод эквивалентного генератора

1. Метод эквивалентных преобразований для расчета схем с трехполюсниками.

Если схема не содержит последовательные и параллельные соединения

резисторов, необходимо соединение треугольником (рис. 4.1, а), заменить

эквивалентной ему звездой (рис. 4.1, б) или выполнить обратную замену.

Структура формул эквивалентных преобразований имеет вид:

После преобразования резисторы в схеме соединены последовательно-

параллельно, их можно заменить одним с эквивалентным сопротивлением.

2. Метод наложения

Метод наложения основан на принципе независимости действия источников энергии. Ток в любой ветви схемы равен алгебраической сумме токов, возникающих в этой ветви под действием каждого отдельно работающего источника.

Схему делят на столько подсхем, сколько источников энергии. В каждой подсхеме оставляют только один источник, остальные источники ЭДС

закорачивают, источники тока – разрывают. Приемники во всех подсхемах остаются неизменными .Токи в подсхемах ищут методом эквивалентных преобразований.

Токи в схеме вычисляют алгебраическим суммированием токов в подсхемах.

Метод наложения рационально применять, если в схеме не больше

трех источников энергии.

Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пример. Вычислить токи в схеме рис. 4.2, если известны значения ЭДС

источников и сопротивления всех резисторов.

1. Выявим узлы (1, 2), ветви, направим токи.

2. Разобьем схему на две подсхемы (рис. 4.3, а, б).

3. Выявим узлы и ветви в первой подсхеме. Ток I1′ появляется в источ-

нике ЭДС, затем в узле 1 разветвляется на токи I2′ и I3′ . Направления токов

нужно указывать правильно. В подсхеме нет ветвей, содержащих больше од-

ного резистора, т. е. нет последовательных соединений. Резисторы с сопро-тивлениями R2 и R3 соединены параллельно. Их можно заменить одним ре-

После этого преобразования схема превращается в последовательное

В свернутой схеме ток I1′ вычислим по закону Ома: I1′ =E1 / R ׳ Э .

Ток I3′ можно определить с помощью первого закона Кирхгофа:

4. Выявим узлы и ветви во второй подсхеме, правильно направим токи.

Дата добавления: 2015-08-20 ; просмотров: 1396 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Метод узлового напряжения (двух узлов)

ads

Наиболее простым методом расчета электрической цепи с двумя узлами – является метод узлового напряжения или метод двух узлов.

Читайте также:  Нужны схемы указателей напряжения

Важно отличать метод узлового напряжения (метод двух узлов) от метода узловых напряжений.

Содержание

Метод узлового напряжения (двух узлов)

Рисунок 1 – Электрическая цепь с двумя узлами

Рисунок 1 – Электрическая цепь с двумя узлами

Определим разность потенциалов между двумя узлами цепи А и B.

Найдём потенциал точки А, перемещаясь по первой ветви от узла B до А.

Исходя из выражения (1) можно записать:

Выразим ток первой ветви

где r1 и g1 – сопротивление и проводимость первой ветви соответственно.

Аналогично составляются уравнения для оставшихся ветвей.

По первому закону Кирхгофа запишем уравнение для узла B

Подставим в вышеуказанное уравнение выражения токов (2-5).

Раскрыв скобки, находим узловое напряжение U:

Общее выражение узлового напряжения

Исходя из вышеизложенного, узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей к сумме проводимостей всех ветвей. ЭДС направленная к узлу A, записывается со знаком «+», если в противоположную сторону, то со знаком «-».

Давайте рассмотрим применения метода на конкретном примере.

Пример решения задач методом двух узлов (метод узлового напряжения)

Пример. Электрическая цепь постоянного тока представлена на рисунке 2. Определить токи в ветвях методом двух узлов, если ЭДС источников равна E1 = 40 В, E2 = 50 В, E3 = 10 В, а сопротивления r1 = 10 Ом, r2 = 20 Ом, r3 = 15 Ом, r4 = 12 Ом.

Метод узлового напряжения (двух узлов)

Рисунок 2 – Электрическая цепь

Порядок расчёта:

Метод двух узлов

  1. Так как действительные направления токов до расчёта цепи нам неизвестны — произвольно указываем направления токов в ветвях, например, как на Рисунке 3.

Рисунок 3

  1. Определим проводимость ветвей.

  1. Найдем напряжение U. Для этого воспользуемся формулой 6.

В числителе записываем произведения ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, причем ЭДС направленная к узлу A, записывается со знаком «+», если в противоположную сторону, то со знаком «-».

В знаменателе указываем сумму проводимостей всех ветвей:

Подставляем раннее найденные значения проводимостей и значения ЭДС указанные в условии задачи:

  1. Определим токи в ветвях. С учетом направления ЭДС

Подставляем численные значения

Токи I3 и I4 получились с отрицательными значениями, следовательно их направление противоположно ранее принятому.

Рисунок 4 – Реальные направления токов.

Рисунок 4 – Реальные направления токов.

Правильность решения можно проверить при помощи баланса мощностей.

Так же для себя правильность решения задачи можно проверить выполнением первого закона Кирхгофа, а именно:

Источник