Меню

Спектральная мощность единицы измерения



Энергетические характеристики сигналов. Спектральная плотность энергии

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Пусть дан некоторый сигнал , который характеризует изменение напряжения или силы тока во времени. Тогда будет определять мгновенную мощность, выделяемую на сопротивлении 1 Ом.

Таким образом, периодические сигналы, повторяющиеся на всей оси времени мы можем характеризовать конечной средней мощностью , поскольку их энергия бесконечна. Непериодические сигналы характеризуются конечной энергией , потому что их средняя мощность на всей оси времени равна нулю.

Выражения (1)–(3) справедливы и для комплексного сигнала . В этом случае, мгновенную мощность можно определить как .

Пусть даны два сигнала и , в общем случае комплексные. Скалярным произведением сигналов называется величина равная:

Заметим, что скалярное произведение сигнала с самим собой возвращает энергию данного сигнала:

Подставим в (4) вместо обратное преобразование Фурье его спектральной плотности . Тогда:

связывающее среднюю мощность периодического сигнала. Для непериодических сигналов мы можем получить аналогичное равенство энергии сигнала во времени и в частотной области. Для этого в обобщенную формулу Рэлея подставим и получим:

Если в выражениях (7)–(9) использовать частоту , выраженную в герц, вместо циклической частоты , измеряемой в единицах рад/c, то и множитель сокращается:

было введено понятие спектральной плотности сигнала и была приведена аналогия поясняющая понятие спектральной плотности, и ее отличие от спектра периодического сигнала.

Из равенства (9) следует, что энергия сигнала может быть представлена как интеграл по всей оси частот:

Сделаем важное замечание. Спектральная плотность энергии игнорирует ФЧХ сигнала. Тогда можно заключить, что одной и той же спектральной плотности энергии могут соответствовать множество различных сигналов, имеющих одинаковую АЧХ и различные ФЧХ.

и на практике анализ поведения убывающей спектральной плотности с ростом частоты имеет важное значение. Однако графический анализ бывает затруднителен ввиду высокой скорости убывания спектральной плотности по частоте, а в случае спектральной плотности энергии затруднителен вдвойне, поскольку возведение АЧХ в квадрат только ускоряет убывание. Поэтому широкое распространение получило представление спектральной плотности энергии в логарифмическом масштабе, выраженной в единицах децибел (дБ):

Читайте также:  Как поднять мощность двс

В качестве примера на рисунке 1 приведены спектральные плотности энергии прямоугольного, треугольного, двустороннего экспоненциального и гауссова импульсов в линейном и логарифмическом масштабе.

Как видно из рисунка 1а, спектральные плотности энергии импульсов в линейном масштабе практически сливаются и очень сложно различимы.

Логарифмическая шкала представления спектральной плотности энергии оказывается удобной при сравнении характеристик сигналов. Если энергии двух сигналов отличаются в 100 раз, то в логарифмической шкале отношение их энергий составляет 20 дБ. Если же энергии отличаются в 1000000 раз, то в логарифмической шкале это соответствует 60 дБ. Удвоение энергии сигнала, в логарифмической шкале соответствует прибавлению 3 дБ.

В данном разделе мы рассмотрели энергетические характеристики периодических и непериодических сигналов. Мы показали, что периодические сигналы имеют бесконечную энергию, но конечную среднюю мощность. Средняя мощность непериодических сигналов стремится к нулю, а их энергия конечна.

Было введено понятие скалярного произведения сигналов и получена обобщенная формула Релея,связывающая скалярное произведение во временной и частотной областях.

Установлено равенство Парсеваля для непериодических сигналов, как частный случай формулы Релея.

Введено понятие спектральной плотности энергии как квадрата модуля спектральной плотности сигнала. Также рассмотрено представление спектральной плотности энергии в линейном и логарифмическом масштабе для различных сигналов.

Источник

Спектральная мощность единицы измерения

Важного вклада в понимание влияния фильтрации на случайный процесс (который снова не обязательно является гауссовским) можно достичь, рассмотрев тот частный случай равенства (3.108), когда зависит только от длины интервала между выборочными моментами наблюдения и 5. В частности, при этих условиях можно исследовать распределение средней мощности процесса как функции от частоты. В соответствии с этим далее в этом разделе предполагается, что

и используются обозначения (3.100).

После подстановки в равенство (3.108) условия (3.109) получаем

Делаем замену переменных Тогда

Поскольку правая часть этого равенства зависит только от мы приходим к выводу, что если является функцией только от то же самое верно и относительно функции :

Равенство (3.110а) можно упростить, если ввести преобразования Фурье Функций :

Тогда обратные преобразования выражаются равенствами

Читайте также:  Окислительная мощность биофильтров это

Если вместо подставить и использовать равенство (3.1126) для того, чтобы выразить через то равенство (3.110а) примет вид

Нетрудно видеть, что интеграл по представляет собой передаточную функцию фильтра а интеграл по функцию Таким образом,

и, сравнивая это равенство с равенством (3.112а), получаем

Возможна следующая интерпретация равенства (3.114). Во-первых, заметим, что если выполнено условие (3.109), то среднее квадратичное значение процесса на выходе фильтра не зависит от времени:

Далее будем рассматривать как семейство кривых напряжения или тока, пропускаемого через сопротивление в 1 ом, так что равен мгновенной мощности, рассеиваемой на сопротивлении в момент в случае кривой, связанной с элементарным событием Следовательно, интерпретируется как математическое ожидание мощности, рассеиваемой на сопротивлении в любой момент времени. Из равенств (3.112а) и (3.114) получаем

Если теперь в качестве взять фильтр, показанный на фиг. 3.22, для которого

Скоро мы увидим, что всегда является четной функцией от частоты. Поскольку из равенства (3.117) следует, что средняя мощность процесса в любой узкой полосе частот ширины с центром приблизительно равна (фиг. 3.23), то функция описывает распределение по частоте средней мощности процесса По этой причине называется спектральной плотностью мощности процесса

Стационарность в широком смысле. В выводе равенства (3.1176) существенно то, что ; если это условие не выполняется, то преобразование Фурье (3.111) не имеет смысла и плотность мощности не определена.

(кликните для просмотра скана)

Поскольку знание функции на выходе линейного фильтра равносильно знанию то воздействие линейного фильтра на гауссовский процесс на входе полностью описывается соотношением (3.114) (совместно с соотношением связи (3.107) между функциями средних). Если не гауссовский процесс, то это не так, хотя равенствами (3.115) и (3.116) и можно пользоваться для вычисления общего среднего квадратичного значения мгновенной мощности на выходе фильтра. Эта возможность и само понятие спектральной плотности мощности случайного процесса настолько важны сами по себе, что процессы удовлетворяющие условиям

получили специальное название процессов, стационарных в широком смысле Чтобы избежать возможной путаницы, вместо термина «стационарность», введенного нами в разд. 3.1, часто используют термин «стационарность в узком смысле».

Читайте также:  Таблица коэффициент запаса мощности

Любой процесс, стационарный в узком смысле, является также и стационарным в широком смысле, но обратное утверждение не верно, как видно на примере процесса, заданного соотношением (3.101). Гауссовский процесс, стационарный в широком смысле, является также и стационарным в узком смысле, поскольку этот процесс удовлетворяет всем условиям (3.100).

Свойства и Поскольку спектральная плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса является преобразованием Фурье от корреляционной функции то свойства этих двух функций тесно взаимосвязаны. Прежде всего отметим, что вещественная четная функция от

Это следует из определения поскольку вещественный процесс и, кроме того,

Из равенства (3.119) следует, что также вещественная четная функция от Для доказательства этого утверждения заметим, что поскольку четная функция, — нечетная функция, то

В правой части равенства (3.120) стоит четная функция от так что доказательство завершено.

Далее, мы утверждаем, что должна быть также неотрицательной функцией:

Очевидно, что это необходимое условие для того, чтобы интерпретация как спектральной плотности мощности была осмысленной. Для доказательства этого факта заметим, что если бы свойство (3.121) было неверно, то можно было бы выбрать частоты и для прямоугольного фильтра, показанного на фиг. 3.24, так, чтобы

Но из равенств (3.117) и четности функции следует, что этот интеграл равен половине математического ожидания квадрата случайного процесса на выходе фильтра, так что неравенство (3.122) противоречило бы тому, что величина должна быть неотрицательной.

Из неотрицательности функции не следует, однако, что неотрицательна и функция Это свойство лишь означает, что корреляционная функция любого стационарного в широком смысле случайного процесса удовлетворяет неравенству

Свойство (3.123) позволяет дать интерпретацию условиям, при которых справедливы соотношения (3.107) и (3.108), связывающие процессы на входе и на выходе фильтра. Для стационарных в широком смысле случайных процессов

так что требование конечности двойного интеграла в равенстве (3.108) эквивалентно требованию того, чтобы средняя мощность процесса на выходе была конечной при всех Можно показать, что это требование является достаточным, даже если процесс не является стационарным.

Источник