Меню

Символический метод расчета напряжений



Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

Читайте также:  Напряжение сигнала лямбда зонда

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

      Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Источник

3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

При расчете линейных цепей символическим методом токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в уравнения электрического состояния в виде комплексов. Основными законами, применяемыми для расчета электрических цепей, являются законы Ома и Кирхгофа

Решение задач символическим методом

Задача 3.2.1 Для схемы рис. 3.2.1 определить токи во всех ветвях и напряжения на всех участках, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости, записать мгновенные значения токов, если u = Umsin(ωt + ψU), Um =600 В, ψU = –90°, R1 = 10 Ом, Х2 = R3 = Х3 = 20 Ом, Х4 = 50 Ом.

Задачу решить символическим методом.
Примечание. Решение этой задачи методом векторных диаграмм приведено в 3.1 Расчет цепей синусоидального тока методом векторных диаграмм

Рис. 3.2.1 Схема электрической цепи

Задачу решаем символическим методом в комплексных амплитудах.

Мгновенное значение напряжения

u = U m sin ( ω t + ψ U ) = 600 sin ( ω t − 90 ° ) , В ,

тогда комплексная амплитуда напряжения

U ? m = U m ⋅ e j ψ U = 600 ⋅ e − j 90 ° , В .

Комплексные сопротивления ветвей

Z _ 1 = R 1 − j X 4 = 10 − j 50 О м ; Z _ 2 = j X 2 = j 20 = 20 ⋅ e j 90 ° О м ; Z _ 3 = R 3 − j X 3 = 20 − j 20 = 20 2 ⋅ e − j 45 ° О м .

Эквивалентная электрическая схема представлена на рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.2 Эквивалентная электрическая схема

Для схемы со смешанным соединением комплексное общее сопротивление

Z _ = Z _ 1 + Z _ 2 ⋅ Z _ 3 Z _ 2 + Z _ 3 = ( 10 − j 50 ) + 20 e j 90 ° ⋅ 20 2 e − j 45 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = = ( 10 − j 50 ) + 20 2 e j 45 ° = ( 10 − j 50 ) + ( 20 + j 20 ) = = 30 − j 30 = 30 2 e − j 45 ° О м .

Комплексная амплитуда общего тока по закону Ома

I ? 1 m = U ? m Z _ = 600 ⋅ e − j 90 ° 30 2 e − j 45 ° = 10 2 e − j 45 ° = 10 − j 10 А .

Комплексные амплитуды токов ветвей по формуле делителя токов

I ˙ 2 m = I ˙ 1 m ⋅ Z _ 3 Z _ 2 + Z _ 3 = 10 2 e − j 45 ° ⋅ 20 2 e − j 45 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = 20 e − j 90 ° = − j 20 А ; I ˙ 3 m = I ˙ 1 m ⋅ Z _ 2 Z _ 2 + Z _ 3 = 10 2 e − j 45 ° ⋅ 20 e j 90 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = 10 2 e j 45 ° = 10 + j 10 А .

Проверка по первому закону Кирхгофа

I ? 1 m = I ? 2 m + I ? 3 m = ( − j 20 ) + ( 10 + j 10 ) = 10 − j 10 = 10 2 e − j 45 ° А .

Действующие значения токов в ветвях

I 1 = I 1 m 2 = 10 2 2 = 10 А ; I 2 = I 2 m 2 = 20 2 = 10 2 А ; I 3 = I 3 m 2 = 10 2 2 = 10 А .

По формуле перехода от комплексных амплитуд к мгновенным значениям

i ( t ) = Im [ I ? m e j ω t ] = Im [ I m e j ψ I e j ω t ] = Im [ I m e j ( ω t + ψ I ) ] = I m sin ( ω t + ψ I )

мгновенные значения токов

i 1 ( t ) = I 1 m sin ( ω t + ψ I 1 ) = 10 2 sin ( ω t − 45 ° ) А ; i 2 ( t ) = I 2 m sin ( ω t + ψ I 2 ) = 20 sin ( ω t − 90 ° ) А ; i 3 ( t ) = I 3 m sin ( ω t + ψ I 3 ) = 10 2 sin ( ω t + 45 ° ) А .

Комплексная полная мощность источника

S ˜ и с т = P и с т + j Q и с т = U ? ⋅ I * 1 = 600 e − j 90 ° ⋅ 10 2 e + j 45 ° = = 6000 2 e − j 45 ° = 3000 − j 3000 В ⋅ А ,

откуда активная мощность источника

P и с т = Re [ S ˜ и с т ] = 3000 В т ,

реактивная мощность источника

Q и с т = Im [ S ˜ и с т ] = − 3000 в а р .

Активная мощность потребителей

P п о т р = I 1 2 R 1 + I 3 2 R 3 = 10 2 ⋅ 10 + 10 2 ⋅ 20 = 3000 В т .

Реактивная мощность потребителей

Q п о т р = I 1 2 ( − X 4 ) + I 2 2 X 2 + I 3 2 ( − X 3 ) = = 10 2 ⋅ ( − 50 ) + ( 10 2 ) 2 ⋅ 20 + 10 2 ⋅ ( − 20 ) = − 3000 в а р .

Для построения топографической диаграммы на комплексной плоскости необходимо рассчитать комплексные действующие значения потенциалов точек схемы

Читайте также:  Типичная стенокардия напряжения характеризуется всем

φ ? e = 0 ; φ ? d = φ ? e + I ? 1 ⋅ ( − j X 4 ) = 0 + 10 e − j 45 ° ⋅ 50 e − j 90 ° = 500 e − j 135 ° = − 250 2 − j 250 2 В ; φ ? b = φ ? d + I ? 2 ⋅ j X 2 = ( − 250 2 − j 250 2 ) + 20 2 e − j 90 ° ⋅ 20 e j 90 ° = − 50 2 − j 250 2 В ; φ ? c = φ ? d + I ? 3 ⋅ ( − j X 3 ) = ( − 250 2 − j 250 2 ) + 10 e j 45 ° ⋅ 20 e − j 90 ° = = ( − 250 2 − j 250 2 ) + ( 100 2 − j 100 2 ) = − 150 2 − j 350 2 В ; φ ? a = φ ? b + I ? 1 ⋅ R 1 = ( − 50 2 − j 250 2 ) + ( 5 2 − j 5 2 ) ⋅ 10 = − j 300 2 = U ? .

При построении векторной диаграммы на комплексной плоскости учитываем направления векторов напряжения на пассивных элементах. Например, вектор напряжения U ? R 1 = I ? 1 R 1 = φ ? a − φ ? b на комплексной плоскости направлен от точки b к точке a, а вектор напряжения U ? L 2 = I ? 2 j X 2 = φ ? b − φ ? d на комплексной плоскости направлен от точки d к точке b.

Топографическая диаграмма на комплексной плоскости приведена на рис. 3.2.3.

Рис. 3.2.3 Топографическая диаграмма на комплексной плоскости

Источник

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов.

Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС


Возьмем два участка цепи a — b и c — d (см. рис. 1) и составим для них уравнения в комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и токов.

Объединяя оба случая, получим

или для постоянного тока

Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС , согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление противоположно направлению тока.

Основы символического метода расчета цепей
синусоидального тока

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

§ первый закон Кирхгофа:

§ второй закон Кирхгофа

Определить: 1) полное комплексное сопротивление цепи ;
2) токи
Рис. 2

4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

Специальные методы расчета

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета , к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

Метод контурных токов

Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми . Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

Читайте также:  Автомобильный усилитель напряжения питания

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

— сумма сопротивлений, входящих в i- й контур;

— сумма сопротивлений, общих для i- го и k- го контуров, причем ;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;

знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление i- й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае ставится знак “-”;

если i- й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то ;

в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, и “-”, если не совпадает.

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий через ветвь с k- м источником тока равен этому току .

Метод узловых потенциалов

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем .

Допустим, что и известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а :

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

Аналогично можно записать для узла b :

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. В левой части i- го уравнения записывается со знаком “+”потенциал i- го узла, для которого составляется данное i- е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i- му узлу, и со знаком “-”потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к i- му и k- му узлам.

Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2. В правой части i- го уравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i- му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i- му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i- му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.

1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. В ветви на рис. 1 . Определить ток .

2. В чем заключается сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока?

3. В чем состоит сущность метода контурных токов?

4. В чем состоит сущность метода узловых потенциалов?

5. В цепи на рис. 5 ; ; ; . Методом контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей.

6. В цепи на рис. 6 . Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов.

Источник