Меню

Расчет напряжений плоскость цилиндра



Техническая механика

Сопротивление материалов

Смятие. Контактные напряжения

Расчеты на прочность при смятии

Если детали конструкции, передающие значительную сжимающую нагрузку, имеют небольшую площадь контакта, то может произойти смятие поверхностей деталей.
Смятие стараются предотвратить различными способами, например, подкладывая различные шайбы и подкладки под контактирующие детали.

Для простоты расчетов напряжений, возникающих при смятии, полагают, что по плоскости контакта возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по площади контакта. Расчетное уравнение на смятие имеет вид:

где: F – сжимающая сила, А см – площадь контакта, [σ см] – допускаемое напряжение на смятие.

Если соприкасающиеся детали сделаны из разных материалов, то на смятие проверяют деталь из более мягкого материала.

При контакте двух деталей цилиндрической поверхности (например, заклепочное соединение) закон распределения напряжений смятия по поверхности контакта сложнее, чем по плоскости, поэтому при расчете на смятие цилиндрических отверстий в расчетную формулу подставляют не площадь боковой поверхности полуцилиндра, по которой происходит контакт, а значительно меньшую площадь диаметрального сечения отверстия (условная площадь смятия, (см. рис. 2), тогда:

где d — диаметр цилиндра, δ — толщина соединяемой детали (высота цилиндра).

При различной толщине соединяемых деталей, в расчетную формулу подставляют меньшую толщину.

Допустимые напряжения на смятие для разных материалов определяются опытным путем, их значение можно найти в справочниках.
Так, для низкоуглеродистой стали допускаемое напряжение смятия принимается в пределах 100….120 МПа, для клепаных соединений: 240….320 МПа, для древесины: 2,4….11 МПа и т. д.

Контактные напряжения

Контактными называют напряжения и деформации, возникающие при сжатии тел криволинейной формы, причем первоначальный контакт может быть линейным (например, сжатие двух цилиндров с параллельными образующими), или точечным (например, сжатие двух шаров).

В результате деформации контактирующих тел начальный точечный или линейный контакт переходит в контакт по некоторой малой площадке. Решение вопросов о контактных напряжениях и деформациях впервые дано в работах немецкого физика Г. Герца (1857-1894 г. г.).

Для деталей, в поверхностных слоях которых возникают контактные напряжения (например, подшипники качения, фрикционные катки, зубчатые колеса и т. п. ), решающую роль играет прочность рабочих поверхностей – контактная прочность.

Рассмотрим случай контакта двух цилиндров с параллельными образующими (рис 3).
Определение контактных напряжений в этом случае производится по формуле Герца, выведенной в предположении, что материалы цилиндров подчиняются закону Гука.
Очевидно, что контактные напряжения по ширине площадки контакта неравномерны.

Максимальные напряжения σ н определяются по формуле:

σ н = √ / [2π(1 — ν 2 )ρ пр]>, (здесь и далее √ — знак корня)

где:
q – нагрузка на единицу длины линии контакта;
Е пр – приведенный модуль упругости, получаемый из соотношения 2/Е пр = 1/Е 1 + 1/Е 2; (здесь 1/Е — некоторая характеристика податливости материала), откуда: Е пр = 2 Е 1Е 2 / Е 1 + Е 2;
ν — коэффициент Пуассона;
ρ пр – приведенный радиус кривизны цилиндров, определяемый из соотношения 1/ρ пр = 1/R 1 + 1/R 2, (здесь 1/ρ пр — кривизна поверхности), откуда:

Читайте также:  Ауди 80 датчик холла напряжение

При ν = 0,3 формула Герца приобретает вид:

Формула Герца широко применяется при расчетах на контактную прочность многих деталей машин и механизмов — зубчатых колес, подшипников качения и т. п.

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

Источник

Расчеты контактных взаимодействий

Контактные (герцевские) напряжения и деформации возникают при взаимодействии двух соприкасающихся тел. При этом, вследствие передачи давления по весьма малым площадкам, в зоне контакта возникают значительные напряжения, имеющие местный характер.

Контактные напряжения определяют при расчетах ответственных деталей – например подшипников, зубчатых колес, кулачковых и шарнирных механизмов. Расчеты контактных напряжений выполняются в предположении, что нагрузки создают в зоне контакта только упругие деформации.

В данном разделе можно выполнить онлайн расчет контактных взаимодействий сферических и цилиндрических поверхностей, а так же рассчитать контакт элементов произвольно заданной кривизны.

Расчет контакта сферы с плоской поверхностью

Расчет напряжений в зоне контакта, размеров пятна контакта и совместных деформаций при контактном взаимодействии тел сферической и плоской формы из разнородных материалов.

Исходные данные:

Е1 – модуль упругости материала плоского тела, в паскалях;

D2 – диаметр сферического тела, в миллиметрах;

Е2 – модуль упругости материала сферического тела, в паскалях;

ν2 – коэффициент Пуассона материала сферического тела;

F – нагрузка, в ньютонах;

КОНТАКТ СФЕРЫ С ПЛОСКОСТЬЮ

Модуль упругости плиты Е1, Па

Коэффициент Пуассона плиты ν1

Диаметр сферы D2, мм

Модуль упругости сферы Е2, Па

Коэффициент Пуассона сферы ν2

Напряжения в зоне контакта σ, МПа

Диаметр пятна контакта A, мм

Совместные деформации Y, мм

©Copyright Кайтек 2020

Ref 8 Table 14.1

Расчет контакта двух сфер

Расчет напряжений в зоне контакта, размеров пятна контакта и совместных деформаций при контактном взаимодействии двух тел сферической формы из разнородных материалов.

Исходные данные:

D1 – диаметр первого сферического тела, в миллиметрах;

Е1 – модуль упругости материала первого сферического тела, в паскалях;

ν1 – коэффициент Пуассона материала первого сферического тела;

D2 – диаметр второго сферического тела, в миллиметрах;

Е2 – модуль упругости материала второго сферического тела, в паскалях;

ν2 – коэффициент Пуассона материала второго сферического тела;

F – нагрузка, в ньютонах;

КОНТАКТ ДВУХ СФЕР

Диаметр сферы D1, мм

Модуль упругости сферы Е1, Па

Коэффициент Пуассона сферы ν1

Диаметр сферы D2, мм

Модуль упругости сферы Е2, Па

Коэффициент Пуассона сферы ν2

Напряжения в зоне контакта σ, МПа

Диаметр пятна контакта A, мм

Совместные деформации Y, мм

©Copyright Кайтек 2020

Ref 8 Table 14.1

Расчет контакта сферы с разъемом

Расчет напряжений в зоне контакта, размеров пятна контакта и совместных деформаций при контактном взаимодействии двух тел с наружной и внутренней сферической поверхностью из разнородных материалов.

Исходные данные:

D1 – внутренний диаметр сферического тела, в миллиметрах;

Е1 – модуль упругости материала сферического тела с внутренним диаметром, в паскалях;

Читайте также:  Как рассчитать межфазное напряжение

ν1 – коэффициент Пуассона материала сферического тела с внутренним диаметром;

D2 – наружный диаметр сферического тела, в миллиметрах;

Е2 – модуль упругости материала сферического тела с наружным диаметром, в паскалях;

ν2 – коэффициент Пуассона материала сферического тела с наружным диаметром;

F – нагрузка, в ньютонах;

КОНТАКТ СФЕРЫ С РАЗЪЕМОМ

Диаметр разъема D1, мм

Модуль упругости разъема Е1, Па

Коэффициент Пуассона разъема ν1

Диаметр сферы D2, мм

Модуль упругости сферы Е2, Па

Коэффициент Пуассона сферы ν2

Напряжения в зоне контакта σ, МПа

Диаметр пятна контакта A, мм

Совместные деформации Y, мм

©Copyright Кайтек 2020

Ref 8 Table 14.1

Расчет контакта цилиндра с плоской поверхностью

Расчет напряжений в зоне контакта и размеров пятна контакта при контактном взаимодействии тел цилиндрической и плоской формы из разнородных материалов.

Исходные данные:

Е1 – модуль упругости материала плоского тела, в паскалях;

D2 – диаметр цилиндрического тела, в миллиметрах;

Е2 – модуль упругости материала цилиндрического тела, в паскалях;

ν2 – коэффициент Пуассона материала цилиндрического тела;

L – длина цилиндрического тела, в миллиметрах;

F – нагрузка, в ньютонах;

КОНТАКТ ЦИЛИНДРА С ПЛОСКОСТЬЮ

Модуль упругости плиты Е1, Па

Коэффициент Пуассона плиты ν1

Диаметр цилиндра D2, мм

Модуль упругости цилиндра Е2, Па

Коэффициент Пуассона цилиндра ν2

Длина цилиндра L, мм

Напряжения в зоне контакта σ, МПа

Ширина пятна контакта A, мм

©Copyright Кайтек 2020

Ref 8 Table 14.1

Расчет контакта двух параллельных цилиндров

Расчет напряжений в зоне контакта и размеров пятна контакта при контактном взаимодействии двух тел цилиндрической формы из разнородных материалов.

Исходные данные:

D1 – диаметр первого цилиндрического тела, в миллиметрах;

Е1 – модуль упругости материала первого цилиндрического тела, в паскалях;

ν1 – коэффициент Пуассона материала первого цилиндрического тела;

D2 – диаметр второго цилиндрического тела, в миллиметрах;

Е2 – модуль упругости материала второго цилиндрического тела, в паскалях;

ν2 – коэффициент Пуассона материала второго цилиндрического тела;

L – длина цилиндрического тела, в миллиметрах;

F – нагрузка, в ньютонах;

КОНТАКТ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЦИЛИНДРОВ

Диаметр цилиндра D1, мм

Модуль упругости цилиндра Е1, Па

Коэффициент Пуассона цилиндра ν1

Диаметр цилиндра D2, мм

Модуль упругости цилиндра Е2, Па

Коэффициент Пуассона цилиндра ν2

Длина цилиндров L, мм

Напряжения в зоне контакта σ, МПа

Ширина пятна контакта A, мм

©Copyright Кайтек 2020

Ref 8 Table 14.1

Расчет контакта цилиндра с разъемом

Расчет напряжений в зоне контакта и размеров пятна контакта при контактном взаимодействии двух тел с наружной и внутренней цилиндрической поверхностью из разнородных материалов.

Исходные данные:

D1 – внутренний диаметр цилиндрического тела, в миллиметрах;

Е1 – модуль упругости материала цилиндрического тела с внутренним диаметром, в паскалях;

ν1 – коэффициент Пуассона материала цилиндрического тела с внутренним диаметром;

D2 – наружный диаметр цилиндрического тела, в миллиметрах;

Е2 – модуль упругости материала цилиндрического тела с наружным диаметром, в паскалях;

ν2 – коэффициент Пуассона материала цилиндрического тела с наружным диаметром;

Читайте также:  Применение малых напряжений электрическое разделение сетей

L – длина цилиндрического тела, в миллиметрах;

F – нагрузка, в ньютонах;

КОНТАКТ ЦИЛИНДРА С РАЗЪЕМОМ

Диаметр разъема D1, мм

Модуль упругости разъема Е1, Па

Коэффициент Пуассона разъема ν1

Диаметр цилиндра D2, мм

Модуль упругости цилиндра Е2, Па

Коэффициент Пуассона цилиндра ν2

Длина цилиндров L, мм

Напряжения в зоне контакта σ, МПа

Ширина пятна контакта A, мм

©Copyright Кайтек 2020

Ref 8 Table 14.1

Расчет контакта двух перпендикулярных цилиндров

Расчет напряжений в зоне контакта, размеров пятна контакта и совместных деформаций при контактном взаимодействии двух перпендикулярно расположенных тел цилиндрической формы из разнородных материалов.

Исходные данные:

D1 – диаметр первого цилиндрического тела, в миллиметрах;

Е1 – модуль упругости материала первого цилиндрического тела, в паскалях;

ν1 – коэффициент Пуассона материала первого цилиндрического тела;

D2 – диаметр второго цилиндрического тела, в миллиметрах;

Е2 – модуль упругости материала второго цилиндрического тела, в паскалях;

ν2 – коэффициент Пуассона материала второго цилиндрического тела;

F – нагрузка, в ньютонах;

КОНТАКТ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ЦИЛИНДРОВ

Диаметр цилиндра D1, мм

Модуль упругости цилиндра Е1, Па

Коэффициент Пуассона цилиндра ν1

Диаметр цилиндра D2, мм

Модуль упругости цилиндра Е2, Па

Коэффициент Пуассона цилиндра ν2

Напряжения в зоне контакта σ, МПа

Совместные деформации Y, мм

Ширина пятна контакта, мм

Длина пятна контакта, мм

©Copyright Кайтек 2020

Ref 8 Table 14.1

Расчет контакта произвольных поверхностей

Ниже выполнен расчет напряжений в зоне контакта, размеров пятна контакта и совместных деформаций при контактном взаимодействии двух тел с произвольно заданной кривизной. При выполнении вычислений необходимо принимать во внимание следующее:
1. В точке контакта двух тел определяются максимальный R и минимальный r радиусы кривизны для обоих тел;
2. В данном расчете, если радиус кривизны образует охватываемую поверхность – он задается положительным значением;
3. Если радиус кривизны образует охватывающую поверхность – он задается отрицательным значением;
4. Плоскости, содержащие линии наибольшей и наименьшей кривизны перпендикулярны между собой;
5. В общем случае, плоскости , содержащие линии наибольшей кривизны обоих тел повернуты между собой на некоторый угол α (например при контакте перпендикулярных цилиндров α = 90°).

Исходные данные:

R1 – максимальный радиус кривизны первого тела, в миллиметрах;

r1 – минимальный радиус кривизны первого тела, в миллиметрах;

Е1 – модуль упругости материала первого тела, в паскалях;

R2 – максимальный радиус кривизны второго тела, в миллиметрах;

r2 – минимальный радиус кривизны второго тела, в миллиметрах;

Е2 – модуль упругости материала второго тела, в паскалях;

ν2 – коэффициент Пуассона материала второго тела;

α – угол между плоскостями, содержащими линии наибольшей кривизны обоих тел, в градусах;

F – нагрузка, в ньютонах;

КОНТАКТ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Максимальный радиус кривизны R1, мм

Минимальный радиус кривизны r1, мм

Модуль упругости Е1, Па

Коэффициент Пуассона ν1

Максимальный радиус кривизны R2, мм

Минимальный радиус кривизны r2, мм

Модуль упругости Е2, Па

Коэффициент Пуассона ν2

Угол α между плоскостями R1 и R2, °

Источник