Меню

Понятие мощности бесконечного множества



Мощность бесконечных множеств

В общем случае, справедливом и для бесконечных множеств, множества A и B является равномощных, или имеют одинаковую мощность, если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств, т.е. если существует биекции f: AB. Равномощных множества обозначаются как A

Отношение ривнопотужности есть рефлексивным, симметричным и транзитивным, то есть отношением эквивалентности.

Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью ее собственной подмножества.

Множество натуральных чисел N равномощных множестве S = <1,4,9,16, . >, состоящая из квадратов натуральных чисел. Необходима биекции устанавливается по закону (n, n 2), n ∈ N, n 2 ∈ S.

Множество Z всех целых чисел равномощных множестве P всех четных чисел. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается следующим образом: (n, 2n), n ∈ Z, 2n ∈ P.

Числа алеф

Мощность множества натуральных чисел N обозначается символом (Алеф-нуль). Последующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначают .

Зличеннисть и конечность множеств

Множество A называется счетное или счетное-бесконечной, если | A |

| N |. В этом случае говорят, что элементы такого множества можно занумеровать. Счетное есть множества целых Z, натуральных N и рациональных Q чисел.

Множество, есть конечная, или Счетное, называется не более чем счетное.

Бесконечная подмножество счетное множества является Счетное. Также бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Для бесчисленных множеств, их мощность . То есть, Счетное множество в некотором смысле является «маленькой» из бесконечных множеств. Бесчисленными есть множества действительных R и комплексных C чисел.

Мощность континуума

О множествах, равномощных множестве действительных чисел [или действительных чисел из интервала (0, 1)] говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом c. Континуум-гипотеза утверждает, что с = .

Свойства

  • Две конечные множества равномощных тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
  • Для бесконечных множеств мощность может совпадать с мощностью своей собственной подмножества, например .
    • Более того, множество бесконечное тогда и только тогда, когда она содержит равномощных собственную (т.е. такую, которая не совпадает с основной множеством) подмножество.
  • Теорема Кантора гарантирует существование мощной множества для любой данной: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или .
  • С помощью кантора квадрата можно доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощных A.
  • Мощность декартова произведения:
  • Формула включения-выключения в простейшем виде:

6.Числовые множества.Комплексные числа:

-натуральные, целые и рациональные числа;

-алгебраические операции с комплексными числами;

-модуль и аргумент комплексного числа;

-геометрическое представление комплексных чисел;

-понятие о функции комплексного переменного.

Числовые множества. Множество комплексных чисел.

Дата добавления: 2018-04-04 ; просмотров: 539 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Мощность множества: примеры. Мощность объединения множеств

Достаточно часто в математической науке возникает ряд трудностей и вопросов, причем многие ответы не всегда проясняются. Не исключением стала такая тема, как мощность множеств. По сути, это не что иное как численное выражение количества объектов. В общем смысле множество является аксиомой, у него нет определения. В основе лежат любые объекты, а точнее их набор, который может носить пустой, конечный или бесконечный характер. Кроме этого, он содержит числа целые или натуральные, матрицы, последовательности, отрезки и прямые.

О существующих переменных

Нулевой или пустой набор, не имеющий собственного значения, считается элементом мощности, так как это подмножество. Сбор всех подмножеств непустого множества S является множеством множеств. Таким образом, набор мощности заданного множества считается многим, мыслимым, но единым. Это множество называется множеством степеней S и обозначается P (S). Если S содержит N элементов, то P (S) содержит 2 ^ n подмножеств, так как подмножество P (S) является либо ∅, либо подмножеством, содержащим r элементов из S, r = 1, 2, 3, . Составленное из всего бесконечного множества M называется степенным количеством и символически обозначается P (M).

Элементы теории множеств

Эта область знаний была разработана Джорджем Кантором (1845-1918 годы жизни). Сегодня она используется почти во всех отраслях математики и служит ее фундаментальной частью. В теории множеств элементы представлены в форме списка и заданы типами (пустой набор, одноэлементный, конечные и бесконечные множества, равные и эквивалентные, универсальные), объединение, пересечение, разность и дополнение чисел. В повседневной жизни часто говорится о коллекции таких объектов, как куча ключей, стая птиц, пачка карточек и т. д. В математике 5 класса и не только, встречаются натуральные, целые, простые и составные числа.

Можно рассмотреть следующие множества:

  • натуральные числа;
  • буквы алфавита;
  • первичные коэффициенты;
  • треугольники с разными значениями сторон.

Видно, что эти указанные примеры представляют собой четко определенные множества объектов. Рассмотрим еще несколько примеров:

  • пять самых известных ученых мира;
  • семь красивых девушек в обществе;
  • три лучших хирурга.

Эти примеры мощности множества не являются четко определенными коллекциями объектов, потому, что критерий «наиболее известных», «самых красивых», «лучших» варьируется от человека к человеку.

Наборы

Это значение представляет собой четко определенное количество различных объектов. Предположив, что:

  • набор слов является синонимом, агрегатом, классом и содержит элементы;
  • объекты, члены являются равными по значению терминами;
  • наборы обычно обозначаются прописными буквами A, B, C;
  • элементы набора представлены маленькими буквами a, b, c.

Если «a» — элемент множества A, то говорится, что «a» принадлежит A. Обозначим фразу «принадлежит» греческим символом «∈» (epsilon). Таким образом, выходит, что a ∈ A. Если ‘b’ — элемент, который не принадлежит A, это представляется как b ∉ A. Некоторые важные наборы, используемые в математике 5 класса, представляют, используя три следующих метода:

  • заявки;
  • реестров или табличные;
  • правило создания построения.
Читайте также:  Регулирование мощности тэна напряжением

При детальном рассмотрении форма заявления основана на следующем. В этом случае задано четкое описание элементов множества. Все они заключены в фигурные скобки. Например:

  • множество нечетных чисел, меньших 7 — записывается как <меньше 7>;
  • набор чисел больше 30 и меньше 55;
  • количество учеников класса, вес которых больше, чем учителя.

В форме реестра (табличной) элементы набора перечислены в паре скобок <> и разделены запятыми. Например:

  1. Пусть N обозначает множество первых пяти натуральных чисел. Следовательно, N = → форма реестра
  2. Набор всех гласных английского алфавита. Следовательно, V = → форма реестра
  3. Множество всех нечетных чисел меньше 9. Следовательно, X = <1, 3, 5, 7>→ форма реестра
  4. Набор всех букв в слове «Математика». Следовательно, Z = → Форма реестра
  5. W — это набор последних четырех месяцев года. Следовательно, W = <сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь>→ реестр.

Стоит отметить, что порядок, в котором перечислены элементы, не имеет значения, но они не должны повторяться. Установленная форма построения, в заданном случае правило, формула или оператор записываются в пару скобок, чтобы набор был корректно определен. В форме set builder все элементы должны обладать одним свойством, чтобы стать членом рассматриваемого значения.

В этой форме представления набора элемент множества описывается с помощью символа «x» или любой другой переменной, за которой следует двоеточие («:» или «|» используется для обозначения). Например, пусть P — множество счетных чисел, большее 12. P в форме set-builder написано, как — <счетное число и больше 12>. Это будет читаться определенным образом. То есть, «P – множество элементов x, такое, что x является счетным числом и больше 12».

Решенный пример с использованием трех методов представления набора: количество целых чисел, лежащих между -2 и 3. Ниже приведены примеры различных типов наборов:

  1. Пустой или нулевой набор, который не содержит какого-либо элемента и обозначается символом ∅ и считывается как phi. В форме списка ∅ имеет написание <>. Пустым является конечное множество, так как число элементов 0. Например, набор целых значений меньше 0.
  2. Очевидно, что их не должно быть

Конечное множество

Множество, содержащее определенное число элементов, называется конечным либо бесконечным множеством. Пустое относится к первому. Например, набор всех цветов в радуге.

Бесконечное количество – это набор. Элементы в нем не могут быть перечислены. То есть, содержащий подобные переменные, называется бесконечным множеством. Примеры:

  • мощность множества всех точек в плоскости;
  • набор всех простых чисел.

Но стоит понимать, что все мощности объединения множества не могут быть выражены в форме списка. К примеру, вещественные числа, так как их элементы не соответствуют какой-либо конкретной схеме.

Кардинальный номер набора – это число различных элементов в заданном количестве A. Оно обозначается n (A).

Эквивалентные наборы для сравнения множеств

Две мощности множества A и B являются таковыми, если их кардинальное число одинаково. Символом для обозначения эквивалентного набора является «↔». Например: A ↔ B.

Равные наборы: две мощности множества A и B, если они содержат одни и те же элементы. Каждый коэффициент из A является переменной из B, и каждый из B является указанным значением A. Следовательно, A = B. Различные типы объединения множеств в мощности и их определения объясняются с помощью указанных примеров.

Сущность конечности и бесконечности

Каковы различия между мощностью конечного множества и бесконечного?

Для первого значения характерно следующее название, если оно либо пустое, либо имеет конечное число элементов. В конечном множестве переменная может быть указана, если она имеет ограниченный счет. Например, с помощью натурального числа 1, 2, 3. И процесс листинга заканчивается на некотором N. Число различных элементов, отсчитываемых в конечном множестве S, обозначается через n (S). А также называется порядком или кардинальным. Символически обозначается по стандартному принципу. Таким образом, если множество S является русским алфавитом, то оно содержит в себе 33 элемента. Также важно запомнить, что элемент не встречается более одного раза в наборе.

Бесконечное количество в множестве

Множество называется бесконечным, если элементы не могут быть перечислены. Если оно имеет неограниченное (то есть несчетное) натуральное число 1, 2, 3, 4 для любого n. Множество, которое не является конечным, называется бесконечным. Теперь можно обсудить примеры рассматриваемых числовых значений. Варианты конечного значения:

  1. Пусть Q = <натуральные числа меньше 25>. Тогда Q — конечное множество и n (P) = 24.
  2. Пусть R = <целые числа между 5 и 45>. Тогда R — конечное множество и n (R) = 38.
  3. Пусть S = <числа, модуль которых равен 9>. Тогда S = <-9, 9>является конечным множеством и n (S) = 2.
  4. Набор всех людей.
  5. Количество всех птиц.

Примеры бесконечного множества:

  • количество существующих точек на плоскости;
  • число всех пунктов в сегменте линии;
  • множество положительных целых чисел, кратных 3, является бесконечным;
  • все целые и натуральные числа.

Таким образом, из приведенных выше рассуждений понятно, как различать конечные и бесконечные множества.

Мощность множества континуум

Если провести сравнение множества и других существующих значений, то к множеству присоединено дополнение. Если ξ – универсальное, а A – подмножество ξ, то дополнение к A является количеством всех элементов ξ, которые не являются элементами A. Символически обозначается дополнение A относительно ξ как A’. К примеру, 2, 4, 5, 6 являются единственными элементами ξ, которые не принадлежат A. Следовательно, A’=

Множество с мощностью континуум имеет следующие особенности:

  • дополнением универсального количества является пустое рассматриваемое значение;
  • эта переменная нулевого множества является универсальным;
  • количество и его дополнение являются непересекающимися.
  1. Пусть количество натуральных чисел является универсальным множеством и А – четное. То, тогда A ‘.
  2. Пусть ξ = множество букв в алфавите. A = набор согласных. Тогда A ‘= количество гласных.
  3. Дополнением к универсальному множеству является пустое количество. Можно обозначить через ξ. Тогда ξ ‘= Множество тех элементов, которые не входят в ξ. Пишется и обозначается пустое множество φ. Поэтому ξ = φ. Таким образом, дополнение к универсальному множеству является пустым.

В математике «континуум» иногда используется для обозначения реальной линии. И в более общем плане, для описания подобных объектов:

  • континуум (в теории множеств) — вещественная линия или соответствующее кардинальное число;
  • линейный — любое упорядоченное множество, которое разделяет определенные свойства реальной прямой;
  • континуум (в топологии) — непустое компактное связное метрическое пространство (иногда хаусдорфово);
  • гипотеза о том, что никакие бесконечные множества больше целых чисел, но меньшие, чем действительные числа;
  • мощность континуума — кардинальное число, представляющее размер множества действительных чисел.

По существу дела, континуум (измерение), теории или модели, которые объясняют постепенные переходы из одного состояния в другое без каких-либо резких изменений.

Проблемы объединения и пересечения

Известно, что пересечение двух или более множеств – это количество, содержащее все элементы, которые являются общими в этих значениях. Задачи Word на множествах решаются, чтобы получить основные идеи о том, как использовать свойства объединения и пересечения множеств. Решенные основные проблемы слов на множествах выглядят так:

  1. Пусть A и B – два конечных множества. Они представляют собой такие, что n (A) = 20, n (B) = 28 и n (A ∪ B) = 36, находится n (A ∩ B).

Связь в наборах с использованием диаграммы Венна:

  1. Объединение двух множеств может быть представлено заштрихованной областью, представляющей A ∪ B. A ∪ B, когда A и B – непересекающиеся множества.
  2. Пересечение двух множеств может быть представлено диаграммой Венна. С затененной областью, представляющей A ∩ B.
  3. Разность двух наборов может быть представлена диаграммами Венна. С заштрихованной областью, представляющей A — B.
  4. Связь между тремя наборами, использующими диаграмму Венна. Если ξ представляет универсальное количество, то A, B, C – три подмножества. Здесь все три набора являются перекрывающимися.

Обобщение информации о множестве

Мощность множества определяется как общее количество отдельных элементов в наборе. А последнее указанное значение описывается как количество всех подмножеств. При изучении подобных вопросов требуются методы, способы и варианты решения. Итак, у мощности множества примерами могут служить следующие:

Пусть A = <0,1,2,3>| | = 4, где | A | представляет мощность множества A.

Теперь можно найти свой набор мощности. Это тоже довольно просто. Как уже сказано, набор мощности установлен из всех подмножеств заданного количества. Поэтому нужно в основном определить все переменные, элементы и другие значения A, которые <>, <0>, <1>, <2>, <3>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, < 2,3>, <0,1,2>, <0,1,3>, <1,2,3>, <0,2,3>, <0,1,2,3>.

Теперь мощность выясняет P = <<>, <0>, <1>, <2>, <3>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, <2,3>, <0,1,2>, <0,1,3>, <1,2,3>, <0,2,3>, <0,1,2,3>>, который имеет 16 элементов. Таким образом, мощность множества A = 16. Очевидно, что это утомительный и громоздкий метод решения этой проблемы. Однако есть простая формула, по которой, непосредственно, можно знать количество элементов в множестве мощности заданного количества. | P | = 2 ^ N, где N — число элементов в некотором A. Эта формула может быть получена применением простой комбинаторики. Таким образом, вопрос равен 2 ^ 11, поскольку число элементов в множестве A равно 11.

Итак, множеством является любое численно выраженное количество, которое может быть всевозможным объектом. К примеру, машины, люди, числа. В математическом значении это понятие шире и более обобщенное. Если на начальных этапах разбираются числа и варианты их решения, то в средних и высших стадиях условия и задачи усложнены. По сути, мощность объединения множества определена принадлежностью объекта к какой-либо группе. То есть один элемент принадлежит к классу, но имеет одну или несколько переменных.

Источник

Мощность множества

Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinalis ← cardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

  1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
  2. Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно однозначное соответствие.
  3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества Aобозначается через |A|. Сам Кантор использовал обозначение \overline<\overline data-lazy-src=

  1. |A|=|B|, или Aи Bравномощны;
  2. |B|» border=»0″/>, или AмощнееB, т. е. Aсодержит подмножество, равномощное B, но Aи Bне равномощны;
  3. |A| и <img src=
  4. С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
  5. Мощность декартова произведения: |A\times B|=|A|\cdot |B|
  6. Формула включения-исключения в простейшем виде: |A\cup B|=|A| + |B| - |A\cap B|
  7. См. также

    Литература

    • А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
    • Р. Курант, Г. Роббинс,Что такое математика? Глава II, § 4.
    • Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М .: Просвещение, 1991. — С. 109-110. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
    Просмотр этого шаблонаЧисловые системы
    Счётные
    множества
    Натуральные числа (\scriptstyle\mathbb<N data-lazy-src=Вещественные (\scriptstyle\mathbb<R data-lazy-src=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
    См. также Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Смотреть что такое «Мощность множества» в других словарях:

    Мощность множества — в математике, обобщение на произвольные множества понятия «число элементов». М. м. определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых… … Большая советская энциклопедия

    МОЩНОСТЬ — множества понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие число элементов . Мощность множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества называются… … Большой Энциклопедический словарь

    МОЩНОСТЬ (в математике) — МОЩНОСТЬ множества, понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие «число элементов». Мощность множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества… … Энциклопедический словарь

    мощность — и; ж. 1. к Мощный (1 5 зн.). М. голоса. М. землетрясения. Удивиться мощности животного. М. организма. М. угольного пласта. М. государства. Проверить м. армии. 2. Физ., техн. Величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение… … Энциклопедический словарь

    Мощность — 1) (в физике) некоторая физическая величина, характеризующая работу в единицу времени (имеет место в механике, электричестве, акустике, оптике и т. д.); 2) (в математике) определяют мощность множества, которая характеризует то общеелчто присуще… … Начала современного естествознания

    Мощность (значения) — Мощность: Мощность (в физике и технике) отношение работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени. Мощность множества (в математике) число элементов множества. Вычислительная мощность компьютера число операций,… … Википедия

    МОЩНОСТЬ — множества, понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие число элементов . М. множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества наз. эквивалентными,… … Естествознание. Энциклопедический словарь

    МОЩНОСТЬ — кардинальное число, множества А такое свойство этого множества, к рое присуще любому множеству В, эквивалентному А. При этом два множества наз. эквивалентными (или равно мощным и), если между ними возможно установить взаимно однозначное… … Математическая энциклопедия

    Мощность статистических критериев (power of tests) — Проверка гипотезы предполагает сопоставление двух конкурирующих гипотез. Нулевая гипотеза указывает на невозможность редких, необычных событий. Альтернативная гипотеза, напротив, утверждает, что такие события возможны. Напр., нулевая гипотеза… … Психологическая энциклопедия

    Упорядоченные и частично упорядоченные множества — (математичексие) множества, в которых каким либо способом установлен порядок следования их элементов или, соответственно, частичный порядок. Понятия порядка и частичного порядка следования элементов определяются следующим образом. Говорят … Большая советская энциклопедия

    Источник