Научная электронная библиотека
Лекция 14. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Понятие о сложном сопротивлении, его виды. Изгиб с растяжением. Косой изгиб.
Cложное сопротивление – такие виды нагружения бруса, при которых в поперечных сечениях возникают одновременно не менее двух внутренних силовых факторов.
Случаи сложного сопротивления условно разделяют на два вида. Первый вид составляют случаи сложного сопротивления, при которых в опасных точках бруса напряженное состояние является одноосным. В эту группу объединяют: изгиб с растяжением, косой изгиб, внецентренное растяжение-сжатие и др.
Рис. 41. Изгиб с растяжением
Условие прочности при изгибе с растяжением, пренебрегая действием поперечных сил, имеет вид:
(32)
Ко второй группе относятся такие случаи сложного сопротивления, когда напряженное состояние является плоским. Например, изгиб с кручением, растяжение(сжатие) с кручением и т.д. Для случая нагружения, относящегося к первой группе, в отличие от второй группы, нет необходимости в применении гипотез прочности.
Косой изгиб проявляется, если прикладываем к балке вертикальную нагрузку, и она при этом изгибается не только в вертикальной плоскости, но и вбок. Косой изгиб – это изгиб, при котором изогнутая ось стержня не лежит в силовой плоскости. Косой изгиб невозможен для балок с сечениями, у которых все центральные оси являются главными (например, квадрат, круг).
Рассмотрим консольную балку прямоугольного сечения длиной l, нагруженную вертикальной силой P. Главная центральная ось балки (ось симметрии) y составляет некоторый малый угол α с направлением действия нагрузки.
Рис. 42. Косой изгиб
Разложим силу P на составляющие: Py = cos α, Px = sin α . Используя принцип независимости действия сил Py, рассмотрим отдельно действие каждой составляющей. Нагрузки Py и Px вызывают в поперечном сечении, расположенном на некотором расстоянии z от правого конца балки, изгибающие моменты:
Оба изгибающих момента будут наибольшими в жесткой заделке:
Формула суммарных нормальных напряжений при косом изгибе в произвольном поперечном сечении балки для некоторой точки с координатами x и y:
(33)
где 
– главные моменты инерции; h – высота, а b – ширина прямоугольного поперечного сечения балки. Величины изгибающих моментов и координат данной точки подставляются в формулу нормальных напряжений при косом изгибе, знак каждого из слагаемых определяется по физическому смыслу.
Наибольшие нормальные напряжения при косом изгибе возникнут в поперечном сечении, расположенном в жесткой заделке, в наиболее удаленных от соответствующих нейтральных осей точках 1 и 2: y = h/2, x = b/2. В точке 1 напряжения будут растягивающими:
а в точке 2 – такими же по величине, но сжимающими.
В формулах максимальных нормальных напряжений при косом изгибе 
– осевые моменты сопротивления балки относительно главных центральных осей инерции.
Нейтральная линия – это геометрическое место точек поперечного сечения стержня, в которых нормальные напряжения равны нулю.
Из определения нейтральной линии легко находится положение нейтральной линии, приравнивая правую часть выражения 
к нулю:
При косом изгибе условие прочности имеет вид:
(34)
Косой изгиб опасен тем, что при производственном браке (перекосе) могут существенно увеличиться нормальные напряжения в балке.
Источник
Общий случай сложного сопротивления
В качестве примера рассмотрим брус прямоугольного поперечного сечения, нагруженный внешними изгибающими моментами M 2 , M 3 , крутящим моментом M 1 и силой P , создающими в произвольном поперечном сечении, отстоящим на расстояние x от правого конца бруса, изгибающие моменты M y и M z , крутящий момент M x и продольную силу N=P (рис. 10.13). Поперечные силы обычно бывают велики только в коротком брусе, а поэтому в большинстве остальных случаев влиянием касательных напряжений от поперечных сил можно пренебречь. Эпюры нормальных и касательных напряжений в данном сечении (рис. 10.14, 10.15) показывают, что в отличие от круглого сечения наибольшие нормальные напряжения и наибольшие касательные напряжения не совпадают в одной и той же точке.
Следовательно, для выявления самой опасной точки в сечении необходимо сопоставить эквивалентные напряжения в нескольких опасных точках. Обычно достаточным является рассмотрение трех точек сечения: одной угловой точки, в которой нормальные напряжения суммируются с одним знаком (точка C ), одной точки посредине длинной стороны прямоугольника (точка 4) и одной точки посредине короткой стороны прямоугольника (точка 3). Напряжения в этих точках представлены в таблице 10.1.
| Точки | или | |||
| A | — | — | + | |
| B | — | + | + | |
| C | + | + | + | |
| D | + | — | + | |
| 1 | — | + | ||
| 2 | + | + | ||
| 3 | + | + | ||
| 4 | — | + |
Условие прочности для точки C записывается как для случая линейного напряженного состояния
Элемент, выделенный в окрестности точек 3, 4 находится в условиях плоского напряженного состояния (см. табл. 10.1) и, следовательно, главные напряжения могут быть вычислены по формуле (10.21).
Для вычисления эквивалентных напряжений в точках 3, 4 подставим значения нормальных и касательных напряжений в формулы (10.22), (10.24), (10.26). Тогда получим значения эквивалентных напряжений по соответствующим теориям прочности:
Таким образом, наиболее опасная точка определяется только в результате вычисления эквивалентных напряжений во всех трех точках, причем в каждом случае положение наиболее опасной точки зависит от конкретного соотношения величин моментов.
Напряжения при изгибе с кручением бруса прямоугольного сечения легко определить путем исключения нормальных напряжений от растяжения или сжатия N / F из уравнений (10.27)-(10.29).
Положение опасной точки и напряжений в общем случае сложного сопротивления (то есть при наличии двух изгибающих моментов, крутящего момента и продольной силы) для бруса круглого поперечного сечения определяются, как это описано в разделе Изгиб с кручением, по формулам (10.22), (10.24), (10.26), с той лишь разницей, что в уравнение (10.19) для σ max добавляется напряжения от растяжения или сжатия:
Источник