Меню

Метод узловых напряжений суть метода



Метод узловых напряжений

Дата публикации: 12 января 2015 .
Категория: Статьи.

В практических задачах встречаются цепи, имеющие всего две узловые точки. Между узловыми точками может быть включено произвольное количество ветвей. Расчет таких цепей значительно упрощается, если пользоваться методом узлового напряжения.

Рассмотрим сущность этого метода. В данной статье решение задач методом узлового напряжения рассмотрены на примерах.

На рисунке 1 изображена разветвленная электрическая цепь с двумя узловыми точками А и Б, между которыми включены четыре параллельные ветви. Три первые ветви имеют источники электродвижущих сил (ЭДС) (генераторы) с ЭДС E1, E2 и E3.

Рисунок 1. Метод узлового напряжения

Последовательно с генераторами в этих ветвях включены сопротивления r1, r2 и r3 (к ним могут быть отнесены и внутренние сопротивления самих генераторов). В последней ветви включено сопротивление r4. Положительные направления токов в каждой ветви выбраны от точки Б к точке А. Поскольку в первых трех ветвях направление тока совпадало с направлением ЭДС источников электрической энергии, то последние работают в режиме генераторов. Если напряжение между узловыми точками А и Б обозначить U, то ток в первой ветви:

аналогично для остальных ветвей:

Применяя для узловой точки А первый закон Кирхгофа, будем иметь:

Заменив токи их выражениями, последнее уравнение записываем так:

Мы получили формулу узлового напряжения.

В числителе формулы узлового напряжения представлена алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей на проводимости этих ветвей. В знаменателе формулы дана сумма проводимостей всех ветвей. Если ЭДС какой-либо ветви имеет направление, обратное тому, которое указано на рисунке 1, то она входит в формулу для узлового напряжения со знаком минус. В общем виде формулу для узлового напряжения можно записать так:

Применяя формулу для узлового напряжения, решим следующий пример.

Пример 1. Для цепи, представленной на рисунке 1, даны ЭДС генераторов E1 = 110 В, E2 = 115 В, E3 = 120 В; внутреннее сопротивление генераторов r01 = 0,2 Ом, r02 = 0,1 Ом, r03 = 0,3 Ом. Сопротивление ветвей r1 = 2,3 Ом, r2 = 4,9 Ом, r3 = 4,7 Ом, r4 = 5 Ом. Определить токи в ветвях.

Расчет цепей методом узловых напряжений начнем с определения проводимости каждой ветви:

Читайте также:  Понижение напряжения светодиодами схема

Находим узловое напряжение:

Определяем токи в ветвях:

Знак минус у тока I4 показывает, что действительное направление тока обратно тому, которое показано на рисунке 1.
Рассмотрим работу двух генераторов параллельного возбуждения с одинаковыми ЭДС (E1 = E2) и одинаковыми внутренними сопротивлениями (r01 = r02). Схема включения генераторов показана на рисунке 1. Пусть E1 = E2 = 110 В, r01 = r02 = 0,2 Ом. Сопротивление потребителя r3 = 1 Ом. Определить мощность, развиваемую генераторами.

Применяя формулу узлового напряжения, будем иметь:

Мощности, создаваемые генераторами:

Приведенный пример показывает, что при одинаковых ЭДС и одинаковых внутренних сопротивлениях генераторов мощности, отдаваемые каждым генератором в сеть, также равны.

Пусть теперь ЭДС второго генератора E2 стала равной 121 В.

Тогда узловое напряжение

Мощности, создаваемые генераторами:

Следовательно, при параллельной работе генераторов постоянного тока с одинаковым внутренним сопротивлением более загруженным окажется тот генератор, ЭДС которого больше.

Рассмотрим, наконец, случай, когда ЭДС параллельно работающих генераторов одинаковы, но внутренние сопротивления различны.

Пример 2. Дано: ЭДС генераторов E1 = E2 = 110 В, внутренние сопротивления генераторов r01 = 0,2 Ом, r02 = 0,25 Ом, сопротивление внешней части цепи r = 1 Ом. Определить токи генераторов.

Вычисляем узловое напряжение:

При параллельной работе генераторов постоянного тока с одинаковыми ЭДС, но с различными внутренними сопротивлениями более загруженным окажется тот генератор, который имеет меньшее внутреннее сопротивление.

Источник: Кузнецов М.И., «Основы электротехники» — 9-е издание, исправленное — Москва: Высшая школа, 1964 — 560с.

Источник

Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительного некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разности потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.

На рис.29 представлена схема электрической цепи, содержащая пять ветвей и три узла. За базисный принят узел с индексом «0».

Узловое напряжение U 10=j 1-j 0. Положительное напряжение узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Рис.29. Иллюстрация к методу узловых напряжений.

Напряжение на ветвях цепи равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви. Например, напряжение ветви 4 равно: U 4=I 4R 4=U 10-U 20 (30)

Читайте также:  Стабилизатор сетевого напряжения 220в что это

Из формулы (30) видно, что, зная узловые напряжения, можно найти ток ветви.

Структуру уравнений получим, рассматривая схему рис.30.

Т.к. узел с индексом «0» принят за базисный, то его потенциал равен нулю. Узловые напряжения (потенциалы) узлов 1 и 2 – неизвестны.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для 1 и 2 узлов соответственно записываются:

Узловое напряжение (32)

Аналогично для оставшихся токов:

Выражения (33,а,б) подставляем в систему (31) и после некоторых арифметических преобразований получаем:

Обозначим q 11=q 1+q 2+q 4+q 5 – собственная проводимость узла 1.

q 22=q 3+q 4+q 5 – собственная проводимость узла 2.

q 12=q 21=q 4+q 5 – взаимная проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2.

Из приведенных выражений видно:

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Узловой ток (теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведений E iq i и J i источников тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если э.д.с. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «-».

После введенных обозначений система (34) принимает вид:

Из формул (35) видно, что собственная проводимость входит в выражения со знаком «+», а взаимная проводимость – со знаком «-».

Для произвольной схемы, содержащей n+1 узлов, система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид:

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

где N э.д.с. – число идеальных источников э.д.с.

Пример: (общий случай)

Пример: (с идеальными э.д.с.)

Порядок расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

1. Выбираем произвольно базисный узел. Желательно нулевой потенциал представить тому узлу, где сходится большее количество ветвей. Если имеется ветвь, содержащая идеальную э.д.с., то базисный узел должен быть концом или началом этой ветви.

2. Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (36).

3. Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.

Читайте также:  Напряжение заряженного аккумулятора автомобиля без нагрузки зимой

4. Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

Следствие: Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных э.д.с.) составляется только одно уравнение.

Например, для схемы рис.30:

Формула (39) носит название метода двух узлов.

Рис.30. Иллюстрация к методу двух узлов.

Узловое напряжение по методу двух узлов равно:

Пример: Дано: E 1=8B; E 5=12B; R 1=R 3=1 Ом; R 2=R 4=2 Ом; R 5=3 Ом.

Определить все токи методом узловых напряжений.

Т.к. электрическая цепь содержит три узла и не содержит ветвей с идеальными источниками э.д.с., то число уравнений, составляемых по методу узловых напряжений равно 2.

Узел 3 будем считать базисным.

В результате решения системы определяем U 13=2,8 B; U 23=-1,95 B.

Токи в ветвях определяем по закону Ома:

Метод наложения (суперпозиции).

Метод наложения основан на применении принципа наложения, который формулируется следующим образом:

Ток в любой ветви электрической цепи равен сумме токов, обусловленных действием каждого источника в отдельности, при отсутствии других источников.

Рассматриваемый принцип называют принципом независимого действия.

При действии только одного из источников напряжения предполагается, что э.д.с. всех остальных источников равны нулю, так же как равны нулю и токи всех источников тока. Отсутствие напряжения на зажимах источников напряжения равносильно короткому замыканию их зажимов. Отсутствие тока в ветви с источником тока равносильно разрыву этой ветви.

Если источник э.д.с. содержит внутреннее сопротивление, то, полагая э.д.с. равной нулю, следует оставлять в его ветви внутреннее сопротивление. Аналогично в случае источника тока с параллельной внутренней проводимостью, следует, разрывая ветвь источника (т.е. полагая J=0), оставлять включенной параллельную ветвь с внутренним сопротивлением.

Пусть в цепи действуют источники с параметрами E и J, I // n и I / n – токи n-ой ветви, создаваемые каждым из этих источников в отдельности. Искомый ток

Принцип суперпозиции применим к напряжениям, т.к. между током и напряжением рассматривается линейная зависимость (закон Ома); но не применим к мощности:

т.к. мощности – это квадратичные функции токов.

Дано: E=60B; J=2A; R 1=5Ом; R 2=20Ом; R 3=10Ом; R 4=15Ом

Источник