Круги мора для главных напряжений



ISopromat.ru

Построить круг Мора для случая плоского напряженного состояния, показанного на рисунке.

Плоское напряженное состояние

Известны направления и значения нормальных и касательных напряжений.

Круг Мора строится в плоской системе координат σ-τ .

Система координат сигма-тау для построения круга Мора

Для построения круга потребуются нормальные и касательные напряжения с двух любых взаимно перпендикулярных площадок (например, правой и верхней) при этом ось σ системы направляется вдоль большего (с учетом знака) из нормальных напряжений.

Начнем с правой площадки элемента.
Из центра системы координат отложим вдоль оси σ значение соответствующего нормального напряжения σα =80МПа с учетом его знака.

Нормальное напряжение на правой площадке элемента

На оси сигма откладывается значение нормального напряжения

Из конечной точки отрезка отложим вдоль оси τ значение соответствующего касательного напряжения τα =40МПа так же с учетом знака.

Касательное напряжение на правой площадке элемента

Значение касательного напряжения вдоль оси тау

На конце последнего отрезка отметим точку, обозначив ее буквой A.

Точка A круга Мора

Аналогично для верхней площадки элемента.

Нормальное и касательное напряжения на верхней грани элемента

Напряжения с верхней площадки на системе сигма-тау и точка B круга Мора

Согласно закона парности касательных напряжений, точки A и B всегда будут расположены по разные стороны от оси σ и равноудалены от нее.

Для главных напряжений (при отсутствии касательных) точки A и B останутся на оси нормальных напряжений.

Полученные точки A и B соединяем отрезком.

Соединение точек A и B круга Мора

На отрезке AB как на диаметре вычерчиваем окружность, с центром в точке пересечения отрезка AB с осью σ системы координат.

Круг Мора

Круг Мора построен.

Множество точек полученной окружности показывают величину и знак нормальных и касательных напряжений при соответствующем положении площадок элемента.

Точки пересечения круга Мора с осью σ показывают величину и знаки главных напряжений.

Источник

Круг Мора для объемного напряженного состояния

Обратная задача.

Прямая задача

Построение кругов Мора

Графический метод исследования напряженного состояния в точке.

Можно оказать, что уравнения , представляют уравнение окружности в параметрической форме. Поэтому для графического метода исследования напряженного состояния используются круги напряжений, называемые кругами Мора .

В теории напряженного состояния можно разграничить две основные задачи:

Прямая задача:в точке известны положение главных площадок и соответствующие им главные напряжения, требуется определить нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным к главным под углом a.

Обратная задача: в точке известны нормальные и касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку, требуется определить главные напряжения и положение главных площадок.

Рассмотрим решение этих задач графическим методом

Аналитическое решение прямой задачи определяется формулами (4.6) – (4.9).

Для графического решения строится на плоскости в координатах s-t круг Мора

(рис. 4.9) в следующей последовательности.

Из крайней левой точки (В) круга проводим луч, параллельный внешней нормали к рассматриваемой площадке, т.е. под углом a к оси s. Точка пересечения этого луча с окружностью (Da) имеет своими координатами отрезки DaKa и OKa, численно равные касательному ta и нормальному sa напряжениям, действующим на рассматриваемой площадке.

Точка Db, лежащая на противоположном конце диаметра от точки Da, характеризует напряжения sβ и tb, действующие по наклонной площадке, перпендикулярной к первой.

Выполненные преобразования проведены с учетом, что 1+cos2α = 2cos 2 α., 1-cos2α = 2sin 2 α.

Полученные выражения для sa, sb, τα и τβ полностью совпадают с аналитическими формулами (4.6) — (4.9).

В заключение следует отметить, что каждая точка круга Мора имеет своими координатами напряжения, действующие на соответствующей площадке, следовательно, зная главные напряжения для плоского напряженного состояния, можно с помощью круга Мора определить напряжения, действующие на различных площадках, проходящих через данную точку. Максимальное касательное напряжение соответствует точке Dc и равно радиусу круга .

Довольно часто приходится решать обратную задачу, т. е. по напряжениям на произвольных площадках sa, ta, sb, tb определять величину и направление главных напряжений. Проще эта задача решается графически, т. е. с помощью круга Мора (рис. 4.10). Рассмотрим порядок его построения.

Прямоугольную систему координат s, t выберем так, чтобы ось абсцисс была параллельна большему из нормальных напряжений (пусть sa > sb). На оси s отложим в выбранном масштабе отрезки ОКa, ОКb, численно равные sa и sb. Из точек Кa и Кb проведем перпендикуляры КaDa, КbDb, которые численно равны соответственноta и τβaDa = ta, КbDb = τβ = — ta). На отрезке DaDb, как на диаметре, построим круг с центром в точке С. Крайнюю правую точку пересечения круга с осью s обозначим буквой А, крайнюю левую – буквой В. Касательные напряжения в этих точках равны нулю, следовательно, ОА=s1, ОВ=s2 – главные напряжения (.в соответствии с прямой задачей).

параллельна большему из нормальных напряжений (пусть sa > sb). На оси s отложим в выбранном масштабе отрезки ОКa, ОКb, численно равные sa и sb. Из точек Кa и Кb проведем перпендикуляры КaDa, КbDb, которые численно равны соответственноta и τβaDa = ta, КbDb = τβ = — ta). На отрезке DaDb, как на диаметре, построим круг с центром в точке С. Крайнюю правую точку пересечения круга с осью s обозначим буквой А, крайнюю левую – буквой В. Касательные напряжения в этих точках равны нулю, следовательно, ОА=s1, ОВ=s2 – главные напряжения (.в соответствии с прямой задачей).

Из рис.6.10 определим радиус круга R и величину отрезка ОС (4.12)

C учетом выражений (4.12) , (4.13) получим следующие формулы для главных напряжений

ОА= σI = ОС + R = + (4.14)

ОВ = σII = ОС – R = — (4.15)

Для определения направления главного напряжения s1 проведем луч через крайнюю левую точку круга В и точку Da¢, которая симметрична точке Da относительно оси s. Направление луча ВDa¢ совпадает с направлением s1, направление s2 перпендикулярно ему. Угол a0 определится из треугольника ВКaDa¢ (рис. 6.10):

Угол a0 считается положительным, если его откладывают от оси s против часовой стрелки.

4.7 Напряжения на произвольной площадке при объемном напряженном состоянии

В элементарном параллелепипеде, по граням которого действуют все три главных напряжения, рассмотрим произвольную площадку a, нормаль к которой составляет с координатными осями 1,2,3 углы α1 α2 α3.(рис. 4. 11). На этой площадке будет действовать полное напряжение рα, составляющее с нормалью n угол α. Определим его проекции на нормаль к площадке — σα и на саму площадку – τα.

где — напряжение на рассматриваемой площадке, вызванное действием , а , — соответственно от напряжений и .Для вычисления этих величин воспользуемся формулой для линейного напряжённого состояния: = , = , = .

С учетом этих значений нормальные напряжения на произвольной площадке определятся равенством

Для вывода формулы касательных напряжений τα следует рассмотреть его векторную величину . Так как , то .

Опуская выводы, которые следуют из уравнений равновесия рассматриваемой трёх- гранной пирамиды (рис. 3.11), запишем формулу в окончательном виде для вектора полного напряжения на площадке nα :

С учётом этого выражения

В качестве примера рассмотрим напряжения на площадке, равнонаклонённой ко всем главным площадкам. Такая площадка называется октаэдрической, а напряжения, действующие на этой площадке, называются октаэдрическими.

Так как для такой площадки , а учитывая, что всегда

, то . Следовательно (4.20)

Так же, как и в случае плоского напряженного состояния, при объемном напряженном состоянии сумма нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть величина постоянная.

Рассмотрим графический метод анализа напряженного состояния в точке при объемном напряженном состоянии.

Прежде всего определим напряжения на площадках, параллельных одному из главных напряжений (рис. 4.12)

На площадках, параллельных s1, (рис. 4.12, а), напряжения зависят только от s2 и s3 и не зависят от s1, т. к. , тогда согласно (4.18)

Круг Мора, соответствующий этому случаю, представлен на рис. 4.13 кругом «а».

Напряжения в семействе площадок, параллельных s2 , определяются по кругу «б», а в семействе площадок, параллельных s3 – с помощью круга «в».

В теории упругости доказывается, что площадкам общего положения соответствуют точки, лежащие в заштрихованной области (рис. 4.13).

Из представленного рисунка следует, что наименьшее и наибольшее нормальные напряжения равны наименьшему и наибольшему главным напряжениям , .

Наибольшие касательные напряжения равны радиусу наибольшего круга

и действуют по площадке, равнонаклонённой к площадкам максимального и минимального из главных напряжений ( ).

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Поделиться с друзьями
Мощность и напряжение
Adblock
detector