Меню

Когда плоское напряжение создает плоскую деформацию



Плоское напряжённое состояние

Основы теории упругости

Плоская задача теории упругости

В теории упругости имеется большой класс задач, важных в смысле практических приложений и вместе с тем допускающих значительные упрощения математической стороны решения. Упрощение заключается в том, что в этих задачах одну из координатных осей тела, например ось z, можно отбросить и все явления рассматривать происходящими в одной координатной плоскости х0у нагруженного тела. В этом случае напряжения, деформации и перемещения будут являться функциями двух координат – х и у.

Задача, рассматриваемая в двух координатах, называется плоской задачи теории упругости.

Под термином « плоская задача теории упругости» объединяют две физически разные задачи, приводящие к весьма сходным математическим зависимостям:

1) задачу о плоском деформированном состоянии (плоская деформация);

2) задачу о плоском напряжённом состоянии.

Для этих задач чаще всего характерно значительное отличие одного геометрического размера от двух других размеров рассматриваемых тел: большая длина в первом случае и малая толщина во втором случае.

Деформация называется плоской, если перемещения всех точек тела могут происходить только в двух направлениях в одной плоскости и не зависят от координаты, нормальной к этой плоскости, т. е.

Плоская деформация возникает в длинных призматических или цилиндрических телах с осью, параллельной оси z, вдоль которой по боковой поверхности действует нагрузка, перпендикулярная этой оси и не меняющаяся по величине вдоль неё.

Примером плоской деформации может служить напряжённо-деформированное состояние, возникающее в длинной прямой плотине и длинном своде подземного тоннеля (рис. 4.1).

Рисунок – 4.1. Плоская деформация возникает в теле плотины и своде подземного тоннеля

Подставляя компоненты вектора перемещения (4.1) в формулы Коши (2.14), (2.15), получим:

Отсутствие линейных деформаций в направлении оси z ведёт к появлению нормальных напряжений σ z. Из формулы закона Гука (3.2) для деформации ε z следует, что

откуда получается выражение для напряжения σ z:

(4.3)

Подставляя это соотношение в две первые формулы закона Гука, находим:

Из анализа формул (4.2) − (4.4) и (3.2) также следует, что

Таким образом, основные уравнения трёхмерной теории упругости в случае плоской деформации значительно упрощаются.

Из трёх дифференциальных уравнений равновесия Навье (2.2) остаются только два уравнения:

а третье обращается в тождество.

Так как на боковой поверхности везде направляющий косинус n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v=0, то из трёх условий на поверхности (2.4) остаются только два уравнения:

где l, m – направляющие косинусы внешней нормали v к поверхности контура;

X, Y, X v, Y v – компоненты объёмных сил и интенсивности внешних поверхностных нагрузок на оси x и у, соответственно.

Шесть уравнений Коши (2.14), (2.15) сводятся к трём:

Из шести уравнений неразрывности деформаций Сен-Венана (2.17), (2.18) остаётся одно уравнение:

а остальные обращаются в тождества.

Из шести формул закона Гука (3.2), с учётом (4.2), (4.4), остаются три формулы:

В этих соотношениях для традиционного в теории упругости вида записи введены новые упругие постоянные:

Плоское напряжённое состояние

Плоское напряжённое состояние возникает в том случае, когда длина того же призматического тела мала, по сравнению с двумя другими, размерами. В этом случае она называется толщиной. Напряжения в теле действуют только в двух направлениях в координатной плоскости хОу и не зависят от координаты z . Примером такого тела может служить тонкая пластина толщиной h , нагруженная по боковой поверхности (ребру) силами, параллельными плоскости пластины и равномерно распределёнными по её толщине (рис. 4.2).

Рисунок 4.2 – Тонкая пластинка и приложенные к ней нагрузки

В этом случае также возможны упрощения, аналогичные упрощениям в задаче о плоской деформации. Компоненты тензора напряжений σ z, τ xz, τ yz на обеих плоскостях пластины равны нулю. Так как пластина тонкая, то можно считать, что они равны нулю и внутри пластины. Тогда напряжённое состояние будет определяться только компонентами σ x, σ y, τ xy которые не зависят от координаты z, т. е. не меняются по толщине пластины, а являются функциями только x и y.

Таким образом, в тонкой пластине возникает следующее напряжённое состояние:

В отношении напряжений плоское напряжённое состояние отличается от плоской деформации условием

Кроме того, из формулы закона Гука (3.2), с учётом (4.10), для линейной деформации ε z получаем, что она не равна нулю:

Читайте также:  Стабилизатор напряжения выходное напряжение 24в

Следовательно, основания пластины будут искривляться, так как появятся перемещения по оси z.

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации: дифференциальные уравнения равновесия (4.5), условия на поверхности (4.6), уравнения Коши (4.7) и уравнения неразрывности деформаций (4.8) сохраняют такой же вид в задаче о плоском напряжённом состоянии.

Формулы закона Гука примут следующий вид:

Формулы (4.11) отличаются от формул (4.9) закона Гука для плоской деформации только значениями упругих постоянных: E и E 1 , v и v 1 .

В обратной форме закон Гука запишется так:

Таким образом, при решении этих двух задач (плоская деформация и плоское напряжённое состояние) можно пользоваться одними и теми же уравнениями и объединять задачи в одну плоскую задачу теории упругости.

В плоской задаче теории упругости восемь неизвестных:

– две компоненты вектора перемещений u и v;

– три компоненты тензора напряжений σ x, σ y, τ xy;

– три компоненты тензора деформаций ε x, ε y, γ xy.

Источник

ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ И ПЛОСКОЕ

ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ («ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА»)

Плоское напряженное и плоское деформированное состояния характеризуются следующими особенностями.

1. Все компоненты напряжений не зависят от одной из коор­динат, общей для всех компонент, и остаются постоянными при ее изменении.

2. В плоскостях, нормальных к оси этой координаты:

а) компоненты касательных напряжений равны нулю;

б) нормальное напряжение или равно нулю (плоское напряженное состояние), или равно полусумме двух других нормаль­ных напряжений (плоское деформированное состояние).

Примем за ось, о которой говорилось ранее, ось у. Из преды­дущего ясно, что эта ось будет главной, т. е. ее можно обозна­чить также и индексом 2. При этом , и не зависят от у; вместе с тем и , а следовательно, и и равны нулю.

Для плоского напряженного состояния = 0. Для плоского деформированного состояния (эта особенность плоского деформированного состояния будет доказана далее).

Следует всегда учитывать существенную разницу между плоским напряженным и плоским деформированным состояниями.

В первом, в направлении третьей оси, нет нормального напря­жения, но есть деформация, во втором есть нормальное напря­жение, но нет деформации.

Плоское напряженное состояние может быть, например, в пла­стине, подверженной действию сил, приложенных к ее контуру параллельно плоскости пластины и распределенных равномерно по ее толщине (рис. 3.16). Изменение толщины пластины в этом случае не имеет значения, и толщина ее может быть принята за единицу [5]. Плоским с достаточной точностью можно считать напряженное состояние фланца при вытяжке цилиндрической заготовки из листового материала.

Плоское деформированное состояние может быть принято для участков цилиндрического или призматического тела большой длины, отдаленных от его концов, если тело нагружено силами, не меняющимися по его длине и направленными перпендикулярно образующим. В плоском деформированном состоянии, напри­мер, можно считать брус, подвергающийся осадке в направлении его толщины, когда деформацией по длине можно пренебречь.

Все уравнения напряженного состояния для плоской задачи значительно упрощаются и сокращается количество переменных.

Уравнения для плоской задачи можно легко получить из выведенных ранее для объемного напряженного состояния, учи­тывая, что = 0 и принимая = 0, по­скольку следует рассматривать наклонные площадки только параллельные оси у, т. е. нормальные к площадкам, свободным от напряжений при плоском напряженном состоянии или свобод­ным от деформаций при плоском деформированном состоянии (рис. 3.17).

В рассматриваемом случае

Обозначая угол (см. рис. 3.17) между нормалью к наклонной площадке и осью (или осью , если напряженное состояние дано в главных осях 1 и 2) через , получаем , откуда .

Учитывая вышесказанное, путем непосредственных подста­новок в соответствующие выражения (3.10) и (3.11) для объем­ного напряженного состояния получим нормальное и касатель­ное напряжения в наклонной площадке (см. рис. 3.17).

Рис.3.15. Плоское напряженное состояние (а), напряжение на наклонной площадке (б)

Из выражения (3.41) легко видеть, что имеет максимум при sin 2 = 1, т. е. при = 45°:

Величину главных напряжений можно выразить через компо­ненты в произвольных осях, использовав уравнение (3.13), из которого получим

При этом для плоского напряженного состояния = 0; для плоского деформированного состояния

Зная напряженное состояние в главных осях, легко перейти на любые произвольные координатные оси (рис. 3.18). Пусть новая координатная ось х составляет угол с осью , тогда, рас­сматривая ее как нормаль к наклонной площадке, имеем для последней по уравнению (3.40)

Читайте также:  Классика регулятор напряжения генератора ваз

но для оси напряжение является напряжением , следо­вательно,

выражение это можно преобразовать так:

Рис.3.16.Напряженное состояние в произвольных осях

Новая ось будет наклонена к оси 1 на угол ( +90°); следовательно, заменяя в предыду­щем уравнении на ( + 90°), получим

Напряжение определим из выражения (3.41):

Обозначая среднее напряжение через , т. е. принимая

и учтя уравнение (3.42), получим так называемые формулы преобразования, которые выражают компоненты напря­жений в функции угла :

При построении диаграммы Мора учтем, что поскольку мы рассматриваем площадки, параллельные оси у (т. е. оси 2), на­правляющий косинус всегда равен нулю, т. е. угол = 90°. Поэтому все корреспондирующие значения и будут распо­ложены на окружности, определяемой уравнением (3.36 б) при подстановке в него = 0, а именно:

или с учетом выражений (3.47) и (3.42)

Эта окружность представлена на рис. 3.19 и является диаг­раммой Мора. Координаты какой-нибудь точки Р, расположенной на окружности, определяют корреспондирующие значения и Соединим точку P с точкой .Легко видеть,что отрезки 02Р = ;

Рр= , Ор= ,и, следовательно, sin = .

Сравнивая полученные вы­ражения с уравнениями (3.48), можно установить, что

Таким образом, зная положение наклонной площадки, определяемое углом , можно найти значения напряжений и , действующих в этой площадке.

Рис.3.17. Диаграмма Мора

то отрезок ОР выражает полное напряжение S.

Если элемент напряженного тела, в наклонной грани которого рассматривают напряжения, вычертить так, чтобы главное напря­жение было направлено параллельно оси , то нормаль N, проведенная к этой наклонной грани, а следовательно, и направ­ление напряжения будут параллельны отрезку СР.

Продолжив линию Р02 до пересечения с окружностью, в точке Р’ получим вторую пару значений и для другой наклонной площадки, у которой ‘ = + 90°, т. е. для площадки, перпен­дикулярной к первой, с направлением нормали ‘. Направления нормалей N и N’ можно принять соответственно за направления новых осей : и , а напряжения и ‘ — соответственно за коор­динатные напряжения и . Таким образом, можно определить напряженное состояние в произвольных осях без использования формул (3.44)—(3.46). Абсолютные величины напряжений гит’ равны между собой по закону парности.

Нетрудно решить и обратную задачу: по заданным напряже­ниям в двух взаимно перпендикулярных площадках , и , т’ (где т’ = т) найти главные напряжения.

Проводим координатные оси н и (рис. 3.19). Наносим точки Р и Р’ с координатами, соответствующими заданным напряжениям , и , . Пересечение отрезка РР’ с осью определит центр круга Мора 02 с диаметром РР’ = 2 31. Далее, если построить оси N, N’ (или, что то же, , ) и повернуть фигуру так, чтобы направления этих осей были параллельны направлениям напря­жений и в рассматриваемой точке данного тела, то направ­ления осей и диаграммы будут параллельны направлению главных осей 1 и 2.

Дифференциальное уравнение равновесия для плоской задачи получим из уравнений (3.38), учитывая, что все производные по у равны нулю, а также равны нулю и :

При решении некоторых задач, относящихся к плоским, иногда бывает удобно пользоваться вместо прямоугольных коор­динат полярными, определяя положение точки радиусом-век­тором и полярным углом , т. е. углом, который составляет радиус-вектор с осью .

Условия равновесия в полярных координатах легко получить из тех же условий в цилиндрических координатах, приравняв

и учтя, что производные по равны

Частным случаем плоской задачи является такой, когда напря­жения не зависят также и от координаты (симметричное отно­сительно оси распределение напряжений). В этом случае обра­тятся в нуль производные по и напряжения и , а условия равновесия определятся одним дифференциальным уравнением

Ясно, что напряжения и здесь являются главными.

Такое напряженное состояние можно принять для фланца круглой заготовки при вытяжке без прижима цилиндрического стакана.

Вид напряженного состояния

Напряженное состояние в какой-либо точке деформируемого тела характеризуется тремя главными нормальными напряже­ниями и направлениями главных осей. [6]

Различают три основных вида напряженного состояния: объемное (трехосное), при котором все три главных напряжения не равны нулю, плоское (двухосное), при котором одно из главных напряжений равно нулю, и линейное (одноосное), при котором только одно главное напряжение отлично от нуля.

Если все нормальные напряжения имеют одинаковый знак, то напряженное состояние называют одноименным, а при напряже­ниях различного знака — разноименным.

Читайте также:  Делитель напряжения без резисторов

Таким образом существует девять видов напряженного состоя­ния: четыре объемных, три плоских и два линейных (рис.3.18).

а) Объемное напряженнее состояние Одноименное Разноименное Сжатие Растяжение Рис. 3. 18. Виды напряженного состояния. а — объемные (трехосные); б — плоские (двухосные); в — линейные (одно­осные).

Напряженное состояние называют однородным, когда в любой точке деформируемого тела направления главных осей и вели­чины главных нормальных напряжений остаются неизменными.

Вид напряженного состояния влияет на способность металла пластически деформироваться не разрушаясь и на величину внешней силы, которую необходимо приложить для осуществле­ния деформации заданной величины.

Так, например, деформирование в условиях одноименного объемного напряженного состояния требует большего усилия, чем при разноименном напряженном состоянии при прочих рав­ных условиях.

1.Что такое напряжение? Чем характеризуется напряженное состояние точки, тела в целом?

2.Что выражают индексы в обозначениях компонент тензора напряжения?

3.Приведите правило знаков для компонент тензора напряжений.

4. Запишите формулы Коши для напряжений на наклонных площадках. Что кладется в основу их вывода?

5.Что такое тензор напряжений? Какие компоненты входят в состав тензора напряжений?

6.Как называются собственные векторы и собственные значениям тензора напряжений?

7.Что такое главные напряжения? Сколько их?

8.Приведите правило присвоения индексов главным нормальным напряжениям.

9.Дайте физическое толкование главных нормальных напряжений и глав­ных осей тензора напряжений.

10.Покажите схемы главных нормальных напряжений для основных про­цессов ОМД — прокатки, волочения, прессования.

11.Что такое инварианты тензора напряжений? Сколько их?

12.В чем состоит механический смысл первого инварианта тензора напряжений?

13.Что называется интенсивностью касательных напряжений?

14..Что такое главные касательные напряжения? Найдите площадки их действия

15..Сколько площадок главных касательных напряжений можно указать в некоторой точке деформируемого тела?

16.Чему равно максимальное касательное напряжение, нормаль­ное напряжение на площадке, по которой оно действует?

17.Что такое осесимметричное напряженное состояние? Приведите примеры.

18.Покажите схемы главных нормальных напряжений для основных про­цессов ОМД — прокатки, волочения, прессования.

19.Что общего между плоским напряженным и плоским деформированным состояниями и какая между ними разница? К какому из этих состояний отно­сится простой сдвиг?

20.Приведите известные Вам формулы теории напряжений в главной си­стеме координат

21.Что такое эллипсоид напряжений? Запишите его уравнение и укажите порядок построения. Какой вид имеет эллипсоид напряжений для гидростатиче­ского давления, плоского и линейного напряженных состояний?

22. Запишите уравнение для нахождения главных нормальных напряжения и три системы уравнений для нахождения главных осей Та.

23..Что такое шаровой тензор и девиатор напряжений? Для расчета каких величин используются второй и третий инварианты девиатора напряжений?

24.Покажите, что главные системы координат тензора и девиатора напря­жений совпадают.

25.Для чего вводятся в рассмотрение интенсивность напряжений и интен­сивность касательных напряжений? Объясните их физический смысл и дайте геометрические интерпретации.

26.Что такое диаграмма Мора? Чему равны радиусы главных окружно­стей?

27.Как изменится диаграмма Мора при изменении среднего напряжения?

28. Что такое октаидрические напряжения?

29. Сколько характерных площадок можно провести через точку тела, находящегося в напряженном состоянии?

30. Условия равновесия для объемного напряженного состояния в прямоугольных координатах, в цилиндрических и сферических координатах.

31. Уравнения равновесия для плоской задачи.

1. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. I. M.—Л., ГТИ, 1948. 346 с. (33)

2. Павлов И. М. О физической природе тензорных представлений в теории пластичности.– «Известия вузов. Черная металлургия», 1965, №6, с. 100–104.

3. Соколовский В. В. Теория пластичности. М., «Высшая школа», 1969. 608 с. (91)

4. Сторожев М. В. и Попов Е. А. Теория обработки металлов давлением. М., «Машиностроение», 1971. 323 с. (99)

5. Тимошенко С. П. Теория упругости. Гостехиздат, 1934. 451 с. (104)

6. Ш о ф м а н Л. А. Основы расчета процесса штамповки и прессования. Машгиз, 1961. (68)

Прокрутить вверх

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник