Меню

Как построить эпюру напряжения изгибающего момента



Построение эпюр при изгибе для балки — экспресс курс для чайников

Привет! Вы находитесь на сайте – sopromats.ru, проекте о сопромате и не только! Это новая статья из серии – «сопромат для чайников», в которой я расскажу о построении эпюр при изгибе для балки. Как обычно, буду писать просто и по делу. Здесь я не буду спамить специфическими фразами из сопромата и рассматривать сложные примеры. Будем учиться на простейшей балке. Ну что же давайте начнем учиться!

Сколько можно нарисовать эпюр при изгибе для балок?

Для простого изгиба, который будем рассматривать в этой статье, можно нарисовать всего две эпюры. Одна именуется как эпюра поперечных сил, другая зовется эпюрой изгибающих моментов. Одна показывает распределение внутренних сил внутри элемента, работающего на изгиб, другая моментов. Если хотите, можете изучить больше информации по этим силовым факторам в следующих материалах:

  • Как построить эпюру поперечных сил? Здесь вы можете найти полное досье на поперечную силу: кто такая, зачем нужна и как обозначается. Тут же можно почитать подробную инструкцию по построению эпюры этой величины. В статье рассказано про 3 методики расчета и построения.
  • Как построить эпюру изгибающих моментов? В этом материале можно узнать много всего об изгибающем моменте. Например, зачем он нужен и как определяется, как обозначается и в чем измеряется. А также подробнейшим образом изучить методики построения эпюры этой величины, 3-мя способами.

Если Вам лень читать эти статьи, то ничего. Это нормально 🙂 Просто хотел пропиарить немного эти материалы, не зря же я их писал…В этой статье, для чайников, мы, итак, научимся строить эти эпюры, но только одним методом.

Подготовительные работы

Для того, чтобы построить эпюры, первым делом вычертите расчетную схему, с указанием всех нагрузок и размеров:

Указание размеров и нагрузок при построении эпюр изгиба

После этого нужно определить реакции опор. Без них дальше никуда. Если Вы не умеет этого делать, обязательно прочтите этот урок про расчет реакций опор для чайников. Здесь же сразу приведу результат вычислений:

Показан результат вычисления реакций опор

Расчет и построение эпюр

Для расчета эпюр сначала нужно наметить участки, на которых эпюра будет либо постоянна, либо меняться по одному закону. Опознать эти участки достаточно просто. Границами участков служат те места, где прикладываются нагрузки (сосредоточенные силы и моменты, в том числе реакции опор). Если на балку действует распределенная нагрузка, то границы – это ее начало и конец. В нашем случае, как видите, 2 участка, каждый по 2 метра:

Разбивка балки на участки при построение эпюр

Рассматриваем произвольное сечение первого участка, которое обзовем буквой – С. Оно будет находится на расстоянии z1 от левого торца балки. И относительного него будем записывать законы, по которым меняются поперечные силы и изгибающие моменты на этом участке:

Рассмотрение произвольного сечения при построении эпюр

Записываем уравнение для поперечной силы

Поперечная сила будет равняться сумме всех сосредоточенных сил, находящихся слева от сечения (или справа). Мы будем подсчитывать все, что находится слева, т.к. там меньше нагрузки. В уравнении поперечной силы, все внешние нагрузки нужно учитывать с учетом правила знаков: если сила, относительно рассматриваемого сечения, поворачивает ПО часовой стрелке, то в уравнение она пойдет с ПЛЮСОМ (и наоборот).

В рассматриваемом примере, реакция RA поворачивает ПО часовой стрелке, и уравнение получится такое:

Причем, как видно, эта зависимость справедлива для любого сечения на первом участке, тем самым поперечная сила в пределах этого участка постоянна и равна – 5 кН. Откладываем это значение на графике:

Построение эпюры поперечных сил на первом участке

Эпюры заштриховываются перпендикулярно нулевой линии и на каждом участке проставляются знаки поперечной силы.

Записываем уравнение для изгибающего момента

Что касается изгибающего момента, то тут в уравнении нужно учесть сумму моментов, находящихся по одну сторону от сечения. Реакция RA, относительно сечения С создает момент RA·z1. Напомню, что момент – это сила, умноженная на плечо. Где плечо – это расстояние от силы до центра момента (в этом случае, центр – это рассматриваемое сечение). В уравнении моментов, все моменты нужно учитывать с учетом правила знаков: если момент силы, стремится растянуть нижние волокна, то в уравнении будем записывать его со знаком «+». И наоборот.

Придерживаясь этого правила, будем откладывать эпюры изгибающих моментов со стороны РАСТЯНУТЫХ волокон. Что практикуется у инженеров-строителей. У механиков, другие правила, они рисуют эти эпюры со стороны сжатых волокон. Кстати, что такое растянутое и сжатое волокно? Покажу на нашем же примере:

Правила растянутых и сжатых волокон при построении эпюр при изгибе

Как видно, сила RA, при повороте, стремится растянуть нижние волокна, поэтому в уравнение будем записывать момент этой силы со знаком плюс:

Анализируя это уравнение, видим, что изгибающий момент будет меняться по линейному закону и зависеть от координаты z1. И чтобы рассчитать и построить эпюру на этом участке достаточно подставить в уравнение координаты начала участка z1=0 и конца z1=2 м. После чего отложить эти точки на графике и соединить прямой линией:

Построение эпюры изгибающих моментов для первого участка

Эпюры для второго участка балки

С учетом всех вышеописанных рекомендаций, я думаю Вы сами теперь сможете построить эпюры для второго участка. Подробно комментировать уже не буду, приведу сразу решение и окончательные эпюры для этой балки:

Построение эпюр для балки

Сегодня мы рассмотрели урок по построению эпюр для простой балки. Однако, много нюансов по расчету и построению я не рассказал, т.к. все это уместить в одном уроке, довольно сложно и не всем это нужно, статья ведь для чайников! Если Вы хотите прокачать свой знания, в этих вопросах, обязательно прочитайте эти материалы о эпюрах. Здесь можно найти подробные статьи о поперечной силе, о изгибающем моменте. Где я рассказывал о 3-х методиках расчета, причем один из них, даже проще, чем мы рассматривали в данной статье. С помощью которого можно устно рисовать эти эпюры. Также там можно посмотреть, как учитывать моменты и распределенные нагрузки при расчете эпюр и какие особенности есть по построению при действии данных видов нагрузок.

Читайте также:  Регулирование напряжения дизельных генераторов

Спасибо за внимание! Если Вам понравилась статья, да и сайт в целом, добавляйте его в свои закладки, чтобы иметь быстрый доступ к нему, а также подписывайтесь на наши соц. сети, делитесь этой статьей с друзьями и т.д. Буду благодарен 🙂

Источник

Техническая механика

Сопротивление материалов

Построение эпюр в сопромате

Прикладное значение науки сопротивление материалов заключается в возможности определения основных критериев работоспособности деталей машин и различных конструкций – прочности, деформации и устойчивости.
Применяя метод сечений в сочетании с приемами статики и других разделов прикладной механики, можно определить напряжения, возникающие в том или ином сечении бруса (детали, элемента конструкции), и, исходя из анализа полученного результата, сделать выводы о работоспособности этого бруса при приложении к нему расчетных нагрузок.
Именно напряжение является основным фактором, влияющим на прочностные характеристики элемента конструкции, а также его способность противостоять деформации. По этой причине в сопромате главной задачей, чаще всего, является определение напряжений, возникающих в том или ином сечении детали или элемента конструкции.

Для удобства анализа напряженности отдельных участков и сечений конструкции (бруса) используют графическое изображение нагрузок и напряжений в каждом сечении. Это позволяет визуально анализировать распределение нагрузок и напряжений по всей длине бруса, определять при этом наиболее нагруженные (критические) участки и сечения. Такие графические изображения нагрузок, напряжений, а также деформаций элементов конструкций называют эпюрами.

При анализе степени напряженности и деформирования элемента конструкции (детали, бруса) наиболее часто производят построение следующих типов эпюр:

  • эпюры внутренних сил (продольных или поперечных), действующих в сечениях бруса;
  • эпюры вращающих (крутящих) моментов;
  • эпюры изгибающих моментов;
  • эпюры напряжений (нормальных или касательных);
  • эпюры перемещений (удлинений, укорочений, прогибов и т. п.).

Иногда на одной эпюре показываются несколько внутренних силовых факторов (эпюра продольных и поперечных сил, эпюра изгибающего и вращающего моментов), но такие эпюры при сложных нагрузках и переменных сечениях бруса сложны для чтения.

Как упоминалось выше, наиболее важную информацию о прочностных характеристиках элемента конструкции (бруса), т. е. способности противостоять разрушению, можно получить, используя эпюры напряжений, а информацию о степени деформации под действием расчетной нагрузки – по эпюрам перемещений.
Эпюры внутренних усилий и моментов в большинстве случаев не дают полной информации о степени напряженности и деформирования отдельных сечений и участков бруса, а являются промежуточным звеном при построении эпюр напряжений и перемещений, особенно если брус имеет ступенчатую форму или переменное поперечное сечение по длине.

Правила построения эпюр

При построении эпюр придерживаются определенных стандартных правил, позволяющих одинаково читать, истолковывать и анализировать эпюру всем участникам процесса конструирования изделия.

Построение эпюры начинают с изображения нулевой линии, которая символизирует линию бруса в ненапряженном состоянии. При этом, если брус имеет сложную пространственную форму, нулевая линия эпюры повторяет контуры центральной (осевой) линии бруса, и имеет такую же пространственную форму.

Нулевую линию эпюры обозначают названием и нулевым символом. Слева от нулевой линии указывается название эпюры (эпюра сил, моментов, напряжений и т. п.), справа от нулевой линии ставится цифра «0». При указании называния эпюры обычно используют символ изображаемой нагрузки, например, внутренние продольные силы чаще всего обозначаются буквой «N», поперечные – буквой «Q», эпюры изгибающих моментов – буквами «M из», эпюры вращающих моментов – буквами «Т» или «M кр», эпюры напряжений – буквами «σ» или «τ» и т. п. Рядом с буквенным названием эпюры (или под ним) указывается единица измерения ( ньютон, мегапаскаль, мм и т. п.).

Следующий этап построения эпюры – определение границ силовых участков бруса, т. е. таких участков, где внутренний силовой фактор в сечениях или деформация бруса изменяются по одной закономерности (или остаются постоянными). Как правило, границами силовых участков являются сечения, где приложена внешняя нагрузка или (и) площадь поперечного сечения бруса изменяется. В некоторых случаях, при построении эпюр брусьев сложной объемной формы, границы участков определяют аналитически. Границы силовых участков обозначаются тонкими вертикальными линиями, проведенными от изображения бруса через все эпюры.

Для оптимальной наглядности графика эпюры важно правильно выбрать масштаб изображаемого силового фактора, напряжения или деформации. Если масштаб окажется слишком мелким – эпюра будет трудна для чтения и анализа, если слишком крупным – она займет много места на чертеже.
Если учесть, что для одного бруса выполняют, как правило, несколько эпюр, расположенных одна под другой, то крупный масштаб не позволит выполнить построение эпюр на одном листе.
Для правильного выбора масштаба эпюры предварительно следует просчитать значение отображаемого фактора по всем контрольным сечениям бруса, и после этого определиться с масштабом.
Если, например, в результате расчетов окажется, что вся эпюра займет положительную область (над нулевой линией), то при построении графика эпюры это следует учесть.

Читайте также:  Контрольная работа по физике 3 вариант частота колебаний напряжения

Положительные значения фактора откладываются вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз. Если на каком-либо участке силовой фактор равен нулю, эпюра совпадает с нулевой линией по всей длине этого участка. После построение внешнего контура эпюры на контрольных сечениях проставляются значения фактора (обычно на внешних углах эпюры), при этом знак фактора (плюс или минус) не указываются.
На положительной области (в самой широкой части) ставится знак « +» в кружке, а на отрицательной области – знак « —» в кружке (см. примеры построения эпюр). Иногда знаки « +» и « —» на эпюре указываются сверху и снизу цифры «0» (справа нулевой линии), тогда на площади графика эпюры эти знаки (в кружках) не ставятся.

По окончании построения эпюры по ее площади проводят тонкие вертикальные линии через равные промежутки. Эти линии символизируют сечения бруса. Иногда, в случае построения сложной пространственной эпюры, линии выполняют не вертикально, а в соответствии с проекционным направлением участка на графике эпюры.

Определение знака фактора на эпюре

При построении эпюр внутренних силовых факторов или деформаций необходимо правильно определять знак фактора на данном силовом участке бруса. Для этого следует пользоваться следующими общепринятыми правилами:

  • сжимающая продольная нагрузка считается отрицательной, растягивающая – положительной;
  • поперечная сила Q, направленная вниз считается отрицательной, вверх – положительной;
  • вращающий (крутящий) момент считается положительным, если он вращает «отсеченную» часть бруса против часовой стрелки, отрицательным – по часовой;
  • эпюра изгибающих моментов строится в соответствии с «правилом дождя». Это правило используется следующим образом: если в результате деформации от изгибающего момента исследуемое сечение прогнулось вниз, значит, эпюра имеет положительное значение (образовалась «воронка», в которой может задерживаться «дождевая вода»); если же балка прогнулась вверх, то эпюра имеет отрицательное значение («вода» будет скатываться с балки). Более подробно о знаках эпюр поперечных сил и изгибающих моментов здесь.

Особенности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Для облегчения построения эпюр и контроля правильности графика следует запомнить ряд правил, вытекающих из теоремы Журавского:

На участке, где равномерно распределенная нагрузка q отсутствует, эпюра поперечных сил Q представляет собой прямую линию, параллельную нулевой линии (оси бруса), а эпюра изгибающих моментов M из – наклонную прямую.

В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть ступенчатый скачок на величину этой силы, а на эпюре M из – излом (изменение направления графика).

На участке действия равномерно распределенной нагрузки q эпюра Q представляет собой наклонную прямую, а эпюра M из – параболу, обращенную выпуклостью навстречу стрелкам, изображающим направление распределенной нагрузки.

Если эпюра Q на наклонном участке в каком-либо сечении пересекает нулевую линию эпюры, то в этом сечении на эпюре изгибающих моментов M из будет иметь экстремальное значение (минимальное или максимальное).

Если на границе действия распределенной нагрузки нет сосредоточенных сил, то наклонный участок эпюры Q соединяется с горизонтальным без «ступеньки», а параболический участок эпюры M из соединяется с наклонным участком плавно, без излома.

В сечениях, где к брусу приложены сосредоченные пары сил, на эпюре M из будут иметь место ступенчатые скачки на величину действующих внешних моментов, а эпюра Q изменения не претерпевает (приложенные к брусу изгибающие моменты не влияют на эпюру поперечных сил).

Примеры построения эпюр

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

Источник

Методика построения эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил

1. Виды опорных закреплений

С технической точки зрения опорные закрепления конструкций весьма разнообразны. При решении задач сопромата, все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых

наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижнаяопора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление, или заделка (рис.1,в).

виды опор

В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.

2. Построение эпюр продольных сил N z

Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.

Правило знаков для Nz: условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной — в противном случае.

Пример 1.Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).

1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.

эпюра продольных сил

По найденным значениям строим эпюру Nz. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные — под осью.

Читайте также:  Лэп напряжением 1150 кв

3. Построение эпюр крутящих моментов М кр .

Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.

Правило знаков для Мкр: условимся считать крутящий момент в сечении положительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемой отсеченной части внешний момент виден направленным против движения часовой стрелки и отрицательным — в противном случае.

Пример 2.Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.

1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

эпюра

По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).

4. Правила контроля эпюр N z и М кр .

Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.

1. Эпюры Nz и Мкр всегда прямолинейные.

2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Nz(Мкр) — прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой — наклонная прямая.

3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.

5. Построение эпюр поперечных сил Q y и изгибающих моментов M x в балках

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой. В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора — поперечная сила Qy и изгибающий момент Mx .

Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.

Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной — в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде

Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.

Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной — в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.

6. Консольные балки

При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

Пример 3.Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем поперечную силу Qy в каждом характерном сечении.

По вычисленным значениям строим эпюру Qy.

3. Определяем изгибающий момент Mx в каждом характерном сечении.

По вычисленным значениям строим эпюру Mx, причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.

7. Балки на двух опорах

В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.

Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:

Пример 4. Построить эпюры Qy, Mx для балки с шарнирным опиранием (рис.5).

1. Вычисляем реакции опор.

2. Намечаем характерные сечения.

В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.

3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.

Строим эпюру Qy.

4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.

Строим эпюру Mx.

8. Правила контроля эпюр Q у и M x

Дифференциальные зависимости между q, Qy, Mx определяют ряд закономерностей, которым подчиняются эпюры Qy и Mx.

Эпюра Qy является прямолинейной на всех участках; эпюра Mx — криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке q, и прямолинейная на всех остальных участках.

Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре Qy обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Mx обязателен скачок на величину момента.

Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра Qy пересекает ось (Qy=0), то эпюра Mx в этом сечении имеет экстремум.

На участках с поперечной силой одного знака эпюра Mx имеет одинаковую монотонность. Так, при Qy>0 эпюра Mx возрастает слева направо; при Qy

Источник