Меню

Как определить мощность рычага



Правило рычага. Формулировка и формула

Рычаг представляет собой один из простых механизмов, который служил и продолжает служить людям для облегчения их физического труда. В статье рассмотрим, что такое рычаг, какие виды его бывают и где они применяются, а также поясним, в чем заключается правило рычага.

Рычаг в физике

Несмотря на то что речь идет о простом механизме, он все же имеет свои составные части. Во-первых, это балка или доска, которая предназначена для воздействия на нее двух противоположных сил. Во-вторых, это опора, которая, с геометрической точки зрения, представляет собой ось вращения, вокруг которой может двигаться балка. В зависимости от расположения опоры под балкой различают три типа рычага, которые будут рассмотрены ниже.

Еще одним важным понятием для любого рычага является «плечо». Под ним понимают часть балки, которая находится между ее концом и опорой при условии, что воздействующие силы приложены к концам балки. Длина плеча играет важную роль при определении условий равновесия рычага.

Рычаг предназначен для преобразования силы в перемещение или, наоборот, перемещения в силу. Другими словами, рассматриваемый простой механизм, используется для перераспределения работы, которую следует выполнить, в пользу приложенной силы или в пользу осуществляемого перемещения. Рисунок ниже показывает пример рычага первого рода.

Рычаг первого рода

Когда человечество начало использовать рычаг?

Ответить уверенно на этот вопрос нельзя. Известно, что рычаги с древнейших времен использовались в Месопотамии и Древнем Египте для подъема тар с водой из колодцев и рек.

Рычаг в Древнем Египте

Единственным письменным свидетельством, которое сохранилось до наших дней, свидетельствующим об использовании рассматриваемого механизма, является всем известный рычаг Архимеда. В работе Плутарха «Параллельные жизни» (100 год до н. э.) говорится, что Архимед в одиночку смог поднять корабль с грузом и пассажирами над поверхностью воды. При этом философ использовал систему блоков и рычагов.

Если подойти к поставленному в названии пункта вопросу более строго, то можно сказать, что человек пользуется рычагом с момента собственного появления в этом мире, ведь наши предплечья и плечи работают по принципу этого простого механизма.

Понятие о моменте силы

Прежде чем переходить к формулировке правила равновесия рычага, рассмотрим понятие крутящего момента или момента силы. В физике под ним понимают величину, равную произведению плеча силы на саму силу. Математически это записывается так:

Где, F — воздействующая сила, d — плечо силы, которое соответствует расстоянию от точки приложения F до оси вращения. Последний элемент системы, то есть ось вращения, играет принципиальную роль при определении момента M. Без наличия оси вращения нет никакого смысла говорить о действующем моменте силы.

Что такое момент силы?

Физический смысл величины M заключается в отражении способности силы F совершить поворот системы вокруг оси. На практике эту способность можно ощутить, если попытаться открутить гайку не гаечным ключом, а руками, или же если постараться открыть дверь не за ручку, а толкая ее вблизи навесных петель.

Во время решения задач момент силы M может приводить как к вращению системы по часовой стрелке, так и против ее хода. В первой случае момент считают отрицательным, во втором — положительным.

Моменты сил и правило рычага

Рассмотрим классический рычаг с двумя плечами, когда опора находится вдали от концов балки. Пример такого механизма изображен ниже.

Рычаг и действующие силы

Мы видим, что когда этот рычаг применяют для совершения физической работы, то на него действует две силы:

  • внешняя сила F, которую прикладывают для выполнения полезной работы;
  • сила R, которая оказывает сопротивление силе F (она выполняет отрицательную работу).

В большинстве случаев сила F создается усилием человека, а сила R представляет собой вес некоторого груза.

Рассматриваемый рычаг будет находиться в равновесии, и перестанет испытывать вращение только тогда, когда сумма действующих на него моментов будет равна нулю. Используя обозначения рисунка выше, и применяя формулу для M, запишем правило равновесия рычага:

Заметим, что момент силы F записан со знаком минус, поскольку он стремится повернуть плечо рычага по часовой стрелке. Остается перенести второй член в правую часть равенства, чтобы записать правило рычага:

Таким образом, равенство моментов силы действия F и силы противодействия R является достаточным условием равновесия рассматриваемого простого механизма.

Кто установил правило равновесия рычага? Этот вопрос отчасти пересекается с рассмотренным выше историческим. Поскольку сохранились только письменные свидетельства научной деятельности Архимеда, связанной с этим механизмом, то именно он в настоящее время считается тем философом, кто установил правило рычага.

Равновесие рассматриваемой системы обеспечивается не только равенством нулю суммы моментов, но также равенством нулю всех действующих сил. Выше были названы лишь две силы (F и R). На самом же деле существует еще сила реакции опоры, направленная против сил F и R. Реакцию опоры момента силы не создает ввиду нулевой длины ее плеча.

Выигрыш и проигрыш в использовании рычага

Следует четко понимать, что при использовании рычага сохраняется полная энергия системы. Чтобы поднять груз на некоторую высоту, необходимо совершить определенную работу. Поскольку в формуле правила рычага стоит произведение силы на длину плеча, то отмеченную работу можно выполнить как с помощью большей силы, так и с помощью меньшей. Однако в первом случае необходимо будет переместить плечо рычага в вертикальном направлении на малую величину, во втором же случае — на большую величину. Это и есть выигрыш и проигрыш в использовании рычага.

Заметим, что в формуле правила рычага стоят значения моментов. Никакого отношения к работе они не имеют. Момент силы выполняет работу только тогда, когда система за счет его действия поворачивается вокруг оси на некоторый угол.

Виды рычагов

Выше уже упоминалось, что все рычаги относятся к одному из трех типов. В основе классификации лежит относительное расположение сил R, F и опоры. Охарактеризуем все три типа:

  1. Рычаг 1-го типа, или рода, был показан выше. Опора расположена в нем между силами R и F. В зависимости от длины плеч dR и dF его можно использовать как для выигрыша в пути, так и для выигрыша в силе. Примером этого типа рычага являются ножницы, весы, гвоздодер.
  2. Рычаг 2-го рода предполагает, что сила R приложена между опорой и силой F. В таком случае получается выигрыш только в силе. Примерами таких рычагов в быту являются орехокол или ручная тачка.
  3. Рычаг 3-го рода предполагает, что сила F расположена между опорой и грузом R. В этом случае выигрыш возможен только в пути. Использование лопаты, циркуля или удочки для рыбалки — это яркие примеры рычага 3-го рода в работе.
Читайте также:  Выходная мощность антенны при мощности передатчика

Примеры рычага второго рода

Простой механизм блок

Рассматривая правила рычага, полезно сказать несколько слов о еще одном простом механизме — блоке. Представляет он собой обычный цилиндр с осью вращения, который имеет углубление по периметру своей боковой поверхности. Пример использования неподвижного блока показан ниже.

Неподвижный блок

Как видно, выигрыша в силе и пути не происходит, однако неподвижный блок позволяет изменить направление воздействующей силы F.

Применение правила равновесия рычага к блоку производят, когда требуется рассчитать выигрыш в силе при использовании подвижных блоков. Один такой блок позволяет выиграть в 2 раза в силе и во столько же раз проиграть в пути.

Решение задачи

Ручная тачка сделана таким образом, что центр массы груза в ней находится на расстоянии 1/3*l от колеса, где l — длина тачки. Какой массы груз может переместить с помощью тачки человек, если известно, что он может приложить максимальную вертикальную силу F = 200 Н.

Воспользуемся правилом рычага, получим:

Отметим, что сила F = 200 Н равна весу тела массой всего 20,4 кг. Таким образом, данная ручная тачка позволяет выиграть в 3 раза в силе.

Источник

Правило равновесия рычага — понятие, характеристика и принцип действия

Характеристика понятия

Описываемое устройство является довольно простым. Но разбираясь в тонкостях правила рычага в физике, стоит отметить наличие у него нескольких составных частей:

  • Балки или доски, на которую воздействует две противоположные силы.
  • Опоры, представляющей собой ось вращения. От её размещения под балкой зависит определение типа рычага (таковых существует три).
  • Плеча, под которым понимают отрезок доски между её концом и опорой (при этом воздействующие силы должны прилагаться по краям балки). От длины плеча зависят условия равновесия механизма.

Рычаг применяется для преобразования перемещения в силу и наоборот. Таким образом, удаётся добиться перераспределения выполняемой работы в пользу производимого перемещения или прикладываемой силы.

Если рассматривать строение человеческого скелета, можно прийти к выводу, что всем людям с самого рождения предоставляется способность пользоваться системой рычагов. При этом в роли механизма выступают плечи и предплечья.

Начало применения устройства с целью облегчения физической работы датируется древними временами. Имеются сведения, что ещё в Древнем Египте эти приборы шли в ход, когда люди поднимали из реки или колодца наполненный водой сосуд.

В 100 году до нашей эры была издана работа Плутарха под названием «Параллельные жизни». В ней говорится, что Архимеду удалось без посторонней помощи поднять над водой корабль, на борту которого на тот момент находились пассажиры и груз. Для этого были использованы блоки и рычаги. По сей день считается, что именно Архимед изобрёл механизм, поскольку самые древние сохранившиеся письменные работы, свидетельствующие о создании закона, принадлежат перу именно этого философа.

Момент силы

При изучении правила равновесия рычага следует отдельно разобраться в том, что значит единица измерения, называемая моментом силы (или крутящим моментом). Чтобы её изобразить с помощью формулы, необходимо умножить непосредственно величину силы (F) на плечо силы (d).

Схематически это будет изображаться так: М = d x F. Очень важное значение имеет ось вращения. Без её определения действующий момент силы лишён смысла. Использование величины М говорит о способности силы оборачивать систему вокруг оси. Применить её на практике можно на примере гайки, если постараться открутить последнюю без помощи гаечного ключа, а лишь одними руками. Тот же эффект будет наблюдаться и при попытке открыть дверь толчком около петель, а не за ручку.

При решении задач величина М способна приводить к вращению механизм как по ходу часовой стрелки, так и против него. При этом в первом случае момент отрицательный, а во втором — положительный.

Правило рычага

Чтобы разобраться, в чём заключается правило рычага, стоит рассмотреть пример работы классического механизма с двумя плечами и опорой, расположенной далеко от обоих концов доски. Во время применения прибора отмечается действие двух сил на него:

  • Внешней F, прикладываемой для осуществления полезной работы.
  • R, оказывающей F сопротивление и выполняющей отрицательную работу.

Обычно для создания F прикладываются человеческие усилия, а R определяется массой поднимаемого груза. Механизм достигнет равновесия лишь в том случае, если действующие на него моменты в сумме окажутся равны нулю. С учётом момента силы формулу для правила рычага можно записать так: R х DR — F х DF = 0, где D является плечом силы. F отрицательная из-за того, что стремится оборачивать плечо устройства по кругу в направлении движения часовой стрелки. Если записать формулу в виде равенства, она будет выглядеть так: R х DR = F х DF.

Отсюда следует, что для достижения простым рычагом равновесия достаточно добиться равенства моментов сил действия F и противодействия R. При применении механизма сохраняется энергия системы, свидетельствующая о необходимости проделывания определённой работы во время поднятия груза на какую-либо высоту.

Поскольку для получения значения правила рычага длину плеча умножают на силу, то существует возможность осуществления работы как с применением большей, так и меньшей силы. Но при первом варианте плечо механизма придётся установить на меньшую величину в вертикальном направлении, а второй случай предполагает перемещение плеча на большую величину. Эта особенность называется выигрышем и проигрышем в применении рычага.

Стоит отметить, что значения моментов никак не влияют на работу. Осуществление действия благодаря моменту силы отмечается лишь в тех случаях, когда система начинает поворачиваться на определённый угол по часовой стрелке.

Виды механизмов

Как известно, все рычаги подразделяются на три типа. Основывается эта классификация на относительном расположении опоры к силам R и F. Каждый из видов механизма стоит охарактеризовать отдельно:

  • В приборах первого типа опора размещается между R и F. При этом от длины плеч зависит, будет ли рычаг использован для выигрыша в силе либо же в пути. По этому принципу устроена работа ножниц, весов на механике, гвоздодёра.
  • Работа устройств второго типа основывается на воздействии силы R, приложенной между F и опорой. Однако использовать такие рычаги можно при расчёте на получение выигрыша лишь в силе. Наиболее простыми примерами устройств считаются ручные тачки и орехоколы.
  • Третий тип основывается на размещении F между грузом и опорой. Такие механизмы позволяют получить выигрыш только в пути. Пронаблюдать работу этого типа можно с помощью использования рыболовной удочки, циркуля или лопаты.
Читайте также:  Yamaha px10 усилитель мощности

Помимо рычагов, при изучении правила равновесия стоит обратить внимание и на другой простой механизм, называемый блоком. Это цилиндр, оснащённый осью вращения и углублением, сформированным вдоль боковой поверхности. При его применении полностью отсутствует выигрыш в силе и пути, однако, благодаря использованию неподвижного блока, можно поменять направление воздействия F. К устройству применимо правило рычага, но только тогда, когда необходимо добиться выигрыша в силе для подвижных блоков, каждый из которых способен увеличить такое значение вдвое. Но при этом методе идентичная величина проигрывается в пути.

Пример решения задачи

В интернете существует масса приложений со встроенными онлайн-калькуляторами, позволяющими вычислить то или иное значение. Для решения задач по правилу рычага можно воспользоваться этими программами либо же научиться вычислять необходимые величины на основе примеров.

Итак, по условию задачи требуется узнать длину рычага, который позволит 50-килограммовой девушке поднять полуторатонный автомобиль, надавив на механизм всем весом. При этом точка опоры располагается в одном метре от края короткого плеча (D1), где D2 — длинное плечо.

Чтобы выяснить, во сколько раз механизм может дать выигрыш в силе, используется формула F/R=D1/D2. Обе силы оказывают воздействие на рычаг по разные стороны от его опоры, поэтому общая длина доски измеряется по формуле: D = D1+D2.

Согласно условию задачи, величина R, оказывающая действие на плечо D1, это вес автомобиля, обозначаемый Mg. При этом F представляет собой действующую на плечо D2 силу, являющуюся весом девушки (mg). Для получения длины рычага достаточно решить уравнение. Итак, в соответствии с вышеописанной формулой (mg/Mg = D1/D2), чтобы получить D2 необходимо произведение массы авто и длины короткого плеча разделить на вес девушки: (Mg x D1)/mg: D2 = (1500 кг х 1 м)/50 кг = 30 м. Чтобы получить общую длину рычага, понадобится сложить D2 и D1: 30м+1 м. Таким образом, искомая величина будет равна 31 метру.

В наши дни рычаги находят широкое применение как в быту, так и на производстве. Поэтому понимание принципа их работы очень важно практически для каждого человека.

Источник

Рычаг, условие равновесия

К рычагу можно прикладывать две, или даже, несколько сил. В некоторых случаях рычаг остается неподвижным, то есть, находится в равновесии. Сформулируем условия, при которых рычаг, находящийся под действием нескольких сил, находится в равновесии.

Формула для условия равновесия рычага

Сумма вращательных моментов всех сил, приложенных к рычагу, должна равняться нулю.

На языке математики, это условие записывают так:

\[\large \boxed < M_<1>+ M_ <2>+ M_ <3>+ \ldots + M_= 0 > \]

Пояснение к формуле:

Для сил, вращающих рычаг в различные стороны, моменты будут иметь различные знаки. Поэтому, каждый вращательный момент в уравнение нужно подставлять со своим знаком!

Кратко условие знаков для моментов можно сформулировать так:

различные направления – разные знаки.

Например, если сила вращает рычаг по часовой стрелке, ее момент имеет знак «плюс», а если против часовой стрелки – то знак «минус».

Можно условиться наоборот: для сил, вращающих по часовой стрелке – знак «минус», а против часовой – знак «плюс». Главное, чтобы выполнялось условие: разные направления – разные знаки.

Советую освежить в памяти основные понятия о моменте силы. Для этого прочитайте такую статью (откроется в новой вкладке).

Для чего применяют рычаг

Рычаг позволяет поднимать или сдвигать тяжелые предметы с помощью малых сил.

То есть, рычаг помогает получить выигрыш в силе. Благодаря этому свойству мы часто пользуемся рычагами.

Однако, нужно помнить, что выигрыш в работе мы не получим, так как работу за нас рычаг не выполнит.

Поэтому, во сколько раз мы выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии.

Примечание:

Если совсем упростить, то работа – это сила, умноженная на расстояние.

Рычаги широко используют в технике. Нередко, в различных механических устройствах используются изогнутые рычаги, например, Г-образные.

Каким бы ни был рассматриваемый рычаг – прямым, или изогнутым, общий алгоритм для расчета его равновесия будет неизменным.

Алгоритм расчета для рычага, находящегося в равновесии

Решаем задачу, связанную с моментами двух сил, приложенных к рычагу.

1). Обращаем внимание на три точки:

  • точку приложения первой силы,
  • точку, к которой приложена вторая сила
  • и, точку, через которую проходит ось вращения.

2). Ищем прямые углы между силами и расстояниями. Если какой-либо угол отличается от прямого, раскладываем либо силу, либо расстояние от точки приложения силы до оси вращения.

3). Составляем по одному уравнению для каждого вращательного момента.

Как рассчитать вращательный момент, написано здесь (откроется в новой вкладке)

4). Все моменты сил суммируем между собой. Напоминаю, что каждый момент силы записываем со своим знаком в левую часть уравнения для суммы моментов. Когда рычаг находится в равновесии, правая часть этого уравнения равна нулю.

Читайте также:  Объемные показатели мощности производства

Примечание:

Если к рычагу прикладывают больше двух сил, алгоритм расчетов аналогичен. С той лишь разницей, что нужно будет рассчитать большее количество вращательных моментов и записать их со своими знаками в общее уравнение для условия равновесия.

Примеры расчетов для рычага, находящегося в равновесии

Рассмотрим несколько случаев равновесия рычага, на который действуют две силы.

Во всех случаях условимся, что:

  1. силы прикладываются к различным точкам рычага;
  2. точки приложения сил не совпадают с точкой рычага, через которую проходит ось вращения.

Рычаг горизонтальный, силы перпендикулярны, ось вращения находится между точками приложения двух сил

Такое приложение сил применяют в рычажных весах, или башенном подъемном кране

Вокруг красной точки (рис. 1) рычаг может вращаться, так как через нее, в направлении «от нас», проходит ось вращения.

Пояснение к словам «через красную точку, в направлении «от нас», проходит ось вращения»: Если деревянный рычаг приложить к стене, то ось вращения – это гвоздь, забитый в красную точку.

Нас интересует два отрезка рычага:

  • расстояние от силы \(F_<1>\) до оси вращения (красной точки). Это расстояние на рисунке обозначено \(d_<1>\);
  • и расстояние от силы \(F_<2>\) до красной точки. На рисунке оно обозначено \(d_<2>\);

Каждая сила приложена перпендикулярно рычагу, расположенному горизонтально. Поэтому, расстояние \(d_<1>\) – это плечо силы \(F_<1>\) , а расстояние \(d_<2>\) являются плечом силы \(F_<2>\).

Запишем вращательные моменты этих сил.

Запишем условие равновесия рычага:

Сила \(F_<2>\) относительно красной точки вращает рычаг по часовой стрелке. Условимся моменты этой силы считать положительным.

А сила \(F_<1>\) будет вращать рычаг относительно красной точки против часовой стрелки, поэтому, ее момент будем считать отрицательным.

Теперь подставим знаки моментов в условие равновесия:

Это уравнение можно записать в развернутом виде

\( — F_ <1>\cdot d_ <1>+ F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\) – условие равновесия для рычага из рис. 1.

Рычаг горизонтальный, раскладываем силу, приложенную под непрямым углом

Не всегда силу прикладывают под прямым углом к рычагу. На рисунке 2 изображен горизонтальный рычаг, одна из сил приложена к нему под углом, не равным 90 градусам.

Чтобы записать условие равновесия рычага, разложим (рис. 3) на проекции силу \(F_<1>\) и возьмем ту ее часть, которая будет располагаться перпендикулярно расстоянию \(d_<1>\).

Для разложения силы \(F_<1>\) удобно заменить угол, обозначенный одной дугой, на угол, обозначенный на рисунке 3 двумя дугами. Будем обозначать угол, обозначенный двумя дугами символом \(\gamma)\.

\[ \begin F_ <1>\cdot cos(\gamma) = F_ <1s>\\ F_ <1>\cdot sin(\gamma) = F_ <1t>\end \]

Примечание:

Просто и доступно о разложении вектора на проекции написано тут (откроется в новой вкладке).

Для записи момента \( M_ <1>\) выберем перпендикулярную рычагу силу \( F_<1t>\).

Вспомним о том, что противоположные направления вращения обозначают противоположными знаками

В развернутом виде условие равновесия для рисунка 3 выглядит так:

\( — F_ <1t>\cdot d_ <1>+ F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\)

\( F_ <2>\cdot d_ <2>= F_ <1t>\cdot d_ <1>\)

Рычаг наклонный, раскладываем силу, приложенную под непрямым углом

В некоторых задачах рассматривают равновесие рычага, находящегося под наклоном к горизонтали (рис. 4).

Здесь сила \(F_<2>\) приложена к рычагу под прямым углом, а угол между силой \(F_<1>\) и рычагом, отличается от прямого.

Разложим силу \(F_<1>\) на части и выберем для вычисления вращательного момента часть силы, расположенную перпендикулярно рычагу. Для разложения используем угол, обозначенный на рисунке 4 одной дугой и символом \(\alpha)\.

\[ \begin F_ <1>\cdot cos(\alpha) = F_ <1s>\\ F_ <1>\cdot sin(\alpha) = F_ <1t>\end \]

Вращательные моменты сил \(F_<1t>\) и \(F_<2>\):

Условие равновесия для рисунка 4 в развернутом виде:

\( — F_ <1>\cdot sin(\alpha) \cdot d_ <1>+ F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\)

Рычаг наклонный, раскладываем расстояние

В некоторых задачах (рис. 5) удобнее раскладывать не силу, а расстояние \( d \). На рисунке 5 для вычисления момента силы \(M_<1>\) разложим расстояние \(d_<1>\) между силой \(F_<1>\) и осью вращения (красной точкой).

Подробно о том, как раскладывать расстояние между точкой приложения силы и осью вращения, читайте тут (откроется в новой вкладке).

Пользуясь рисунком 5, запишем моменты:

Нам указали тупой угол \(\alpha\) между силой и расстоянием от точки приложения силы до оси вращения. Но чтобы разложить \(d_<1>\) на части, удобнее использовать другой угол, смежный с углом \(\alpha\).

Рассмотрим подробнее часть рисунка, на которой отмечены углы (рис. 6)

Из рисунка 6 видно, что углы \(\alpha\) и \(\gamma\) образуют развернутый угол. То есть, сумма углов \(\alpha\) и \(\gamma\) равна 180 градусам.

\[ \alpha + \gamma = 180^ \]

Синусы таких углов равны.

\[ sin\left(\alpha \right) = sin\left(\gamma \right)\]

Разложим расстояние \(d_<1>\) на перпендикулярную и параллельную силе части, используя вместо угла \(\alpha \) угол \(\gamma\).

\[ \begin d_ <1>\cdot cos(\gamma) = d_ <1s>\\ d_ <1>\cdot sin(\gamma) = d_ <1t>\end \]

Теперь можно записать условие равновесия для рычага, находящегося на рисунке 5.

\( — F_ <1>\cdot d_ <1t>+ F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\)

\( — F_ <1>\cdot d_ <1>\cdot sin(\gamma) + F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\)

Или, используя угол \(\alpha \):

\[ F_ <2>\cdot d_ <2>= F_ <1>\cdot d_ <1>\cdot sin(\alpha) \]

Точки приложения сил находятся по одну сторону от оси вращения

Так прикладывают силы, например, при устройстве шлагбаума.

Из рисунка 7 видно, что силы перпендикулярны рычагу, значит моменты сил выражаются простыми соотношениями:

Сила \(F_<2>\) вращает рычаг по часовой стрелке относительно красной точки, поэтому, ее момент считаем положительным. Момент силы \(F_<1>\) отрицателен, так как она вращает рычаг относительно красной точки против часовой стрелки.

Равновесие рычага на рисунке 7 сохраняется, когда выполняется условие:

\(- F_ <1>\cdot d_ <1>+ F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\)

Источник

Как определить мощность рычага



Рычаг, условие равновесия

К рычагу можно прикладывать две, или даже, несколько сил. В некоторых случаях рычаг остается неподвижным, то есть, находится в равновесии. Сформулируем условия, при которых рычаг, находящийся под действием нескольких сил, находится в равновесии.

Формула для условия равновесия рычага

Сумма вращательных моментов всех сил, приложенных к рычагу, должна равняться нулю.

На языке математики, это условие записывают так:

\[\large \boxed < M_<1>+ M_ <2>+ M_ <3>+ \ldots + M_= 0 > \]

Пояснение к формуле:

Для сил, вращающих рычаг в различные стороны, моменты будут иметь различные знаки. Поэтому, каждый вращательный момент в уравнение нужно подставлять со своим знаком!

Кратко условие знаков для моментов можно сформулировать так:

различные направления – разные знаки.

Например, если сила вращает рычаг по часовой стрелке, ее момент имеет знак «плюс», а если против часовой стрелки – то знак «минус».

Можно условиться наоборот: для сил, вращающих по часовой стрелке – знак «минус», а против часовой – знак «плюс». Главное, чтобы выполнялось условие: разные направления – разные знаки.

Советую освежить в памяти основные понятия о моменте силы. Для этого прочитайте такую статью (откроется в новой вкладке).

Для чего применяют рычаг

Рычаг позволяет поднимать или сдвигать тяжелые предметы с помощью малых сил.

То есть, рычаг помогает получить выигрыш в силе. Благодаря этому свойству мы часто пользуемся рычагами.

Однако, нужно помнить, что выигрыш в работе мы не получим, так как работу за нас рычаг не выполнит.

Поэтому, во сколько раз мы выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии.

Примечание:

Если совсем упростить, то работа – это сила, умноженная на расстояние.

Рычаги широко используют в технике. Нередко, в различных механических устройствах используются изогнутые рычаги, например, Г-образные.

Каким бы ни был рассматриваемый рычаг – прямым, или изогнутым, общий алгоритм для расчета его равновесия будет неизменным.

Алгоритм расчета для рычага, находящегося в равновесии

Решаем задачу, связанную с моментами двух сил, приложенных к рычагу.

1). Обращаем внимание на три точки:

  • точку приложения первой силы,
  • точку, к которой приложена вторая сила
  • и, точку, через которую проходит ось вращения.

2). Ищем прямые углы между силами и расстояниями. Если какой-либо угол отличается от прямого, раскладываем либо силу, либо расстояние от точки приложения силы до оси вращения.

3). Составляем по одному уравнению для каждого вращательного момента.

Как рассчитать вращательный момент, написано здесь (откроется в новой вкладке)

4). Все моменты сил суммируем между собой. Напоминаю, что каждый момент силы записываем со своим знаком в левую часть уравнения для суммы моментов. Когда рычаг находится в равновесии, правая часть этого уравнения равна нулю.

Примечание:

Если к рычагу прикладывают больше двух сил, алгоритм расчетов аналогичен. С той лишь разницей, что нужно будет рассчитать большее количество вращательных моментов и записать их со своими знаками в общее уравнение для условия равновесия.

Примеры расчетов для рычага, находящегося в равновесии

Рассмотрим несколько случаев равновесия рычага, на который действуют две силы.

Во всех случаях условимся, что:

  1. силы прикладываются к различным точкам рычага;
  2. точки приложения сил не совпадают с точкой рычага, через которую проходит ось вращения.

Рычаг горизонтальный, силы перпендикулярны, ось вращения находится между точками приложения двух сил

Такое приложение сил применяют в рычажных весах, или башенном подъемном кране

Вокруг красной точки (рис. 1) рычаг может вращаться, так как через нее, в направлении «от нас», проходит ось вращения.

Пояснение к словам «через красную точку, в направлении «от нас», проходит ось вращения»: Если деревянный рычаг приложить к стене, то ось вращения – это гвоздь, забитый в красную точку.

Нас интересует два отрезка рычага:

  • расстояние от силы \(F_<1>\) до оси вращения (красной точки). Это расстояние на рисунке обозначено \(d_<1>\);
  • и расстояние от силы \(F_<2>\) до красной точки. На рисунке оно обозначено \(d_<2>\);

Каждая сила приложена перпендикулярно рычагу, расположенному горизонтально. Поэтому, расстояние \(d_<1>\) – это плечо силы \(F_<1>\) , а расстояние \(d_<2>\) являются плечом силы \(F_<2>\).

Запишем вращательные моменты этих сил.

Запишем условие равновесия рычага:

Сила \(F_<2>\) относительно красной точки вращает рычаг по часовой стрелке. Условимся моменты этой силы считать положительным.

А сила \(F_<1>\) будет вращать рычаг относительно красной точки против часовой стрелки, поэтому, ее момент будем считать отрицательным.

Теперь подставим знаки моментов в условие равновесия:

Это уравнение можно записать в развернутом виде

\( — F_ <1>\cdot d_ <1>+ F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\) – условие равновесия для рычага из рис. 1.

Рычаг горизонтальный, раскладываем силу, приложенную под непрямым углом

Не всегда силу прикладывают под прямым углом к рычагу. На рисунке 2 изображен горизонтальный рычаг, одна из сил приложена к нему под углом, не равным 90 градусам.

Чтобы записать условие равновесия рычага, разложим (рис. 3) на проекции силу \(F_<1>\) и возьмем ту ее часть, которая будет располагаться перпендикулярно расстоянию \(d_<1>\).

Для разложения силы \(F_<1>\) удобно заменить угол, обозначенный одной дугой, на угол, обозначенный на рисунке 3 двумя дугами. Будем обозначать угол, обозначенный двумя дугами символом \(\gamma)\.

\[ \begin F_ <1>\cdot cos(\gamma) = F_ <1s>\\ F_ <1>\cdot sin(\gamma) = F_ <1t>\end \]

Примечание:

Просто и доступно о разложении вектора на проекции написано тут (откроется в новой вкладке).

Для записи момента \( M_ <1>\) выберем перпендикулярную рычагу силу \( F_<1t>\).

Вспомним о том, что противоположные направления вращения обозначают противоположными знаками

В развернутом виде условие равновесия для рисунка 3 выглядит так:

\( — F_ <1t>\cdot d_ <1>+ F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\)

\( F_ <2>\cdot d_ <2>= F_ <1t>\cdot d_ <1>\)

Рычаг наклонный, раскладываем силу, приложенную под непрямым углом

В некоторых задачах рассматривают равновесие рычага, находящегося под наклоном к горизонтали (рис. 4).

Здесь сила \(F_<2>\) приложена к рычагу под прямым углом, а угол между силой \(F_<1>\) и рычагом, отличается от прямого.

Разложим силу \(F_<1>\) на части и выберем для вычисления вращательного момента часть силы, расположенную перпендикулярно рычагу. Для разложения используем угол, обозначенный на рисунке 4 одной дугой и символом \(\alpha)\.

\[ \begin F_ <1>\cdot cos(\alpha) = F_ <1s>\\ F_ <1>\cdot sin(\alpha) = F_ <1t>\end \]

Вращательные моменты сил \(F_<1t>\) и \(F_<2>\):

Условие равновесия для рисунка 4 в развернутом виде:

\( — F_ <1>\cdot sin(\alpha) \cdot d_ <1>+ F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\)

Рычаг наклонный, раскладываем расстояние

В некоторых задачах (рис. 5) удобнее раскладывать не силу, а расстояние \( d \). На рисунке 5 для вычисления момента силы \(M_<1>\) разложим расстояние \(d_<1>\) между силой \(F_<1>\) и осью вращения (красной точкой).

Подробно о том, как раскладывать расстояние между точкой приложения силы и осью вращения, читайте тут (откроется в новой вкладке).

Пользуясь рисунком 5, запишем моменты:

Нам указали тупой угол \(\alpha\) между силой и расстоянием от точки приложения силы до оси вращения. Но чтобы разложить \(d_<1>\) на части, удобнее использовать другой угол, смежный с углом \(\alpha\).

Рассмотрим подробнее часть рисунка, на которой отмечены углы (рис. 6)

Из рисунка 6 видно, что углы \(\alpha\) и \(\gamma\) образуют развернутый угол. То есть, сумма углов \(\alpha\) и \(\gamma\) равна 180 градусам.

\[ \alpha + \gamma = 180^ \]

Синусы таких углов равны.

\[ sin\left(\alpha \right) = sin\left(\gamma \right)\]

Разложим расстояние \(d_<1>\) на перпендикулярную и параллельную силе части, используя вместо угла \(\alpha \) угол \(\gamma\).

\[ \begin d_ <1>\cdot cos(\gamma) = d_ <1s>\\ d_ <1>\cdot sin(\gamma) = d_ <1t>\end \]

Теперь можно записать условие равновесия для рычага, находящегося на рисунке 5.

\( — F_ <1>\cdot d_ <1t>+ F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\)

\( — F_ <1>\cdot d_ <1>\cdot sin(\gamma) + F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\)

Или, используя угол \(\alpha \):

\[ F_ <2>\cdot d_ <2>= F_ <1>\cdot d_ <1>\cdot sin(\alpha) \]

Точки приложения сил находятся по одну сторону от оси вращения

Так прикладывают силы, например, при устройстве шлагбаума.

Из рисунка 7 видно, что силы перпендикулярны рычагу, значит моменты сил выражаются простыми соотношениями:

Сила \(F_<2>\) вращает рычаг по часовой стрелке относительно красной точки, поэтому, ее момент считаем положительным. Момент силы \(F_<1>\) отрицателен, так как она вращает рычаг относительно красной точки против часовой стрелки.

Равновесие рычага на рисунке 7 сохраняется, когда выполняется условие:

\(- F_ <1>\cdot d_ <1>+ F_ <2>\cdot d_ <2>= 0\)

Источник

Правило равновесия рычага — понятие, характеристика и принцип действия

Характеристика понятия

Описываемое устройство является довольно простым. Но разбираясь в тонкостях правила рычага в физике, стоит отметить наличие у него нескольких составных частей:

  • Балки или доски, на которую воздействует две противоположные силы.
  • Опоры, представляющей собой ось вращения. От её размещения под балкой зависит определение типа рычага (таковых существует три).
  • Плеча, под которым понимают отрезок доски между её концом и опорой (при этом воздействующие силы должны прилагаться по краям балки). От длины плеча зависят условия равновесия механизма.

Рычаг применяется для преобразования перемещения в силу и наоборот. Таким образом, удаётся добиться перераспределения выполняемой работы в пользу производимого перемещения или прикладываемой силы.

Если рассматривать строение человеческого скелета, можно прийти к выводу, что всем людям с самого рождения предоставляется способность пользоваться системой рычагов. При этом в роли механизма выступают плечи и предплечья.

Начало применения устройства с целью облегчения физической работы датируется древними временами. Имеются сведения, что ещё в Древнем Египте эти приборы шли в ход, когда люди поднимали из реки или колодца наполненный водой сосуд.

В 100 году до нашей эры была издана работа Плутарха под названием «Параллельные жизни». В ней говорится, что Архимеду удалось без посторонней помощи поднять над водой корабль, на борту которого на тот момент находились пассажиры и груз. Для этого были использованы блоки и рычаги. По сей день считается, что именно Архимед изобрёл механизм, поскольку самые древние сохранившиеся письменные работы, свидетельствующие о создании закона, принадлежат перу именно этого философа.

Момент силы

При изучении правила равновесия рычага следует отдельно разобраться в том, что значит единица измерения, называемая моментом силы (или крутящим моментом). Чтобы её изобразить с помощью формулы, необходимо умножить непосредственно величину силы (F) на плечо силы (d).

Схематически это будет изображаться так: М = d x F. Очень важное значение имеет ось вращения. Без её определения действующий момент силы лишён смысла. Использование величины М говорит о способности силы оборачивать систему вокруг оси. Применить её на практике можно на примере гайки, если постараться открутить последнюю без помощи гаечного ключа, а лишь одними руками. Тот же эффект будет наблюдаться и при попытке открыть дверь толчком около петель, а не за ручку.

При решении задач величина М способна приводить к вращению механизм как по ходу часовой стрелки, так и против него. При этом в первом случае момент отрицательный, а во втором — положительный.

Правило рычага

Чтобы разобраться, в чём заключается правило рычага, стоит рассмотреть пример работы классического механизма с двумя плечами и опорой, расположенной далеко от обоих концов доски. Во время применения прибора отмечается действие двух сил на него:

  • Внешней F, прикладываемой для осуществления полезной работы.
  • R, оказывающей F сопротивление и выполняющей отрицательную работу.

Обычно для создания F прикладываются человеческие усилия, а R определяется массой поднимаемого груза. Механизм достигнет равновесия лишь в том случае, если действующие на него моменты в сумме окажутся равны нулю. С учётом момента силы формулу для правила рычага можно записать так: R х DR — F х DF = 0, где D является плечом силы. F отрицательная из-за того, что стремится оборачивать плечо устройства по кругу в направлении движения часовой стрелки. Если записать формулу в виде равенства, она будет выглядеть так: R х DR = F х DF.

Отсюда следует, что для достижения простым рычагом равновесия достаточно добиться равенства моментов сил действия F и противодействия R. При применении механизма сохраняется энергия системы, свидетельствующая о необходимости проделывания определённой работы во время поднятия груза на какую-либо высоту.

Поскольку для получения значения правила рычага длину плеча умножают на силу, то существует возможность осуществления работы как с применением большей, так и меньшей силы. Но при первом варианте плечо механизма придётся установить на меньшую величину в вертикальном направлении, а второй случай предполагает перемещение плеча на большую величину. Эта особенность называется выигрышем и проигрышем в применении рычага.

Стоит отметить, что значения моментов никак не влияют на работу. Осуществление действия благодаря моменту силы отмечается лишь в тех случаях, когда система начинает поворачиваться на определённый угол по часовой стрелке.

Виды механизмов

Как известно, все рычаги подразделяются на три типа. Основывается эта классификация на относительном расположении опоры к силам R и F. Каждый из видов механизма стоит охарактеризовать отдельно:

  • В приборах первого типа опора размещается между R и F. При этом от длины плеч зависит, будет ли рычаг использован для выигрыша в силе либо же в пути. По этому принципу устроена работа ножниц, весов на механике, гвоздодёра.
  • Работа устройств второго типа основывается на воздействии силы R, приложенной между F и опорой. Однако использовать такие рычаги можно при расчёте на получение выигрыша лишь в силе. Наиболее простыми примерами устройств считаются ручные тачки и орехоколы.
  • Третий тип основывается на размещении F между грузом и опорой. Такие механизмы позволяют получить выигрыш только в пути. Пронаблюдать работу этого типа можно с помощью использования рыболовной удочки, циркуля или лопаты.

Помимо рычагов, при изучении правила равновесия стоит обратить внимание и на другой простой механизм, называемый блоком. Это цилиндр, оснащённый осью вращения и углублением, сформированным вдоль боковой поверхности. При его применении полностью отсутствует выигрыш в силе и пути, однако, благодаря использованию неподвижного блока, можно поменять направление воздействия F. К устройству применимо правило рычага, но только тогда, когда необходимо добиться выигрыша в силе для подвижных блоков, каждый из которых способен увеличить такое значение вдвое. Но при этом методе идентичная величина проигрывается в пути.

Пример решения задачи

В интернете существует масса приложений со встроенными онлайн-калькуляторами, позволяющими вычислить то или иное значение. Для решения задач по правилу рычага можно воспользоваться этими программами либо же научиться вычислять необходимые величины на основе примеров.

Итак, по условию задачи требуется узнать длину рычага, который позволит 50-килограммовой девушке поднять полуторатонный автомобиль, надавив на механизм всем весом. При этом точка опоры располагается в одном метре от края короткого плеча (D1), где D2 — длинное плечо.

Чтобы выяснить, во сколько раз механизм может дать выигрыш в силе, используется формула F/R=D1/D2. Обе силы оказывают воздействие на рычаг по разные стороны от его опоры, поэтому общая длина доски измеряется по формуле: D = D1+D2.

Согласно условию задачи, величина R, оказывающая действие на плечо D1, это вес автомобиля, обозначаемый Mg. При этом F представляет собой действующую на плечо D2 силу, являющуюся весом девушки (mg). Для получения длины рычага достаточно решить уравнение. Итак, в соответствии с вышеописанной формулой (mg/Mg = D1/D2), чтобы получить D2 необходимо произведение массы авто и длины короткого плеча разделить на вес девушки: (Mg x D1)/mg: D2 = (1500 кг х 1 м)/50 кг = 30 м. Чтобы получить общую длину рычага, понадобится сложить D2 и D1: 30м+1 м. Таким образом, искомая величина будет равна 31 метру.

В наши дни рычаги находят широкое применение как в быту, так и на производстве. Поэтому понимание принципа их работы очень важно практически для каждого человека.

Источник

Читайте также:  Как определить электрическую мощность по силе тока