Меню

Как найти мощность сигнала по графику



Энергетические характеристики сигналов. Спектральная плотность энергии

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Пусть дан некоторый сигнал , который характеризует изменение напряжения или силы тока во времени. Тогда будет определять мгновенную мощность, выделяемую на сопротивлении 1 Ом.

Таким образом, периодические сигналы, повторяющиеся на всей оси времени мы можем характеризовать конечной средней мощностью , поскольку их энергия бесконечна. Непериодические сигналы характеризуются конечной энергией , потому что их средняя мощность на всей оси времени равна нулю.

Выражения (1)–(3) справедливы и для комплексного сигнала . В этом случае, мгновенную мощность можно определить как .

Пусть даны два сигнала и , в общем случае комплексные. Скалярным произведением сигналов называется величина равная:

Заметим, что скалярное произведение сигнала с самим собой возвращает энергию данного сигнала:

Подставим в (4) вместо обратное преобразование Фурье его спектральной плотности . Тогда:

связывающее среднюю мощность периодического сигнала. Для непериодических сигналов мы можем получить аналогичное равенство энергии сигнала во времени и в частотной области. Для этого в обобщенную формулу Рэлея подставим и получим:

Если в выражениях (7)–(9) использовать частоту , выраженную в герц, вместо циклической частоты , измеряемой в единицах рад/c, то и множитель сокращается:

было введено понятие спектральной плотности сигнала и была приведена аналогия поясняющая понятие спектральной плотности, и ее отличие от спектра периодического сигнала.

Из равенства (9) следует, что энергия сигнала может быть представлена как интеграл по всей оси частот:

Сделаем важное замечание. Спектральная плотность энергии игнорирует ФЧХ сигнала. Тогда можно заключить, что одной и той же спектральной плотности энергии могут соответствовать множество различных сигналов, имеющих одинаковую АЧХ и различные ФЧХ.

и на практике анализ поведения убывающей спектральной плотности с ростом частоты имеет важное значение. Однако графический анализ бывает затруднителен ввиду высокой скорости убывания спектральной плотности по частоте, а в случае спектральной плотности энергии затруднителен вдвойне, поскольку возведение АЧХ в квадрат только ускоряет убывание. Поэтому широкое распространение получило представление спектральной плотности энергии в логарифмическом масштабе, выраженной в единицах децибел (дБ):

Читайте также:  Почему падает мощность двигателя автомобиля

В качестве примера на рисунке 1 приведены спектральные плотности энергии прямоугольного, треугольного, двустороннего экспоненциального и гауссова импульсов в линейном и логарифмическом масштабе.

Как видно из рисунка 1а, спектральные плотности энергии импульсов в линейном масштабе практически сливаются и очень сложно различимы.

Логарифмическая шкала представления спектральной плотности энергии оказывается удобной при сравнении характеристик сигналов. Если энергии двух сигналов отличаются в 100 раз, то в логарифмической шкале отношение их энергий составляет 20 дБ. Если же энергии отличаются в 1000000 раз, то в логарифмической шкале это соответствует 60 дБ. Удвоение энергии сигнала, в логарифмической шкале соответствует прибавлению 3 дБ.

В данном разделе мы рассмотрели энергетические характеристики периодических и непериодических сигналов. Мы показали, что периодические сигналы имеют бесконечную энергию, но конечную среднюю мощность. Средняя мощность непериодических сигналов стремится к нулю, а их энергия конечна.

Было введено понятие скалярного произведения сигналов и получена обобщенная формула Релея,связывающая скалярное произведение во временной и частотной областях.

Установлено равенство Парсеваля для непериодических сигналов, как частный случай формулы Релея.

Введено понятие спектральной плотности энергии как квадрата модуля спектральной плотности сигнала. Также рассмотрено представление спектральной плотности энергии в линейном и логарифмическом масштабе для различных сигналов.

Источник

4 Энергия и мощность сигнала

Если к резистору с сопротивлением R приложено постоянное напряжение U, то выделяющаяся в резисторе мощность будет равна:

За время Т в этом резисторе выделяется тепловая энергия:

Пусть теперь к тому же резистору приложено не постоянное напряжение, а сигнал S(t). Рассеивающаяся в резисторе мощность при этом тоже будет зависеть от времени (речь идет о мгновенной мощности).

Чтобы вычислить теряющуюся за время T энергию, мгновенную мощность необходимо проинтегрировать:

Читайте также:  Усилитель мощности сигнала сотовых телефонов

Можно ввести и понятие средней мощности за заданный промежуток времени, разделив энергию на длительность временного интервала:

Во все приведенные формулы входит сопротивление нагрузки R. Если энергия и мощность интересуют нас не как физические величины, а как средние сравнения различных сигналов, этот параметр можно из формул исключить (принять R=1). Тогда мы получим определение энергии мгновенной мощности и средней мощности, принятой в теории сигналов

— энергия сигнала

— мгновенная мощность

(1)

Данные параметры иногда называются удельной мощностью и энергией, чтобы подчеркнуть, подразумевая при этом единичное значение сопротивления нагрузки.

Энергия сигнала может быть конечной или бесконечной. Любой сигнал конечной длительности будет иметь конечную энергию, а любой периодический – бесконечную. Если энергия сигнала бесконечна, можно определить его среднюю мощность на всей временной оси. Для этого из формулы (1) путем предельного перехода, устремив интервал усреднения в бесконечность

(2)

Квадратный корень из Рср даст среднеквадратичное значение мощности сигнала

(3)

5 Спектральный анализ периодических сигналов. Условия Дирихле. Ряд Фурье.

Для периодического сигнала с периодом Т выполняется соотношение:S(t+nT) = S(t) при любом t.

где n — произвольное целое число; Т – период сигнала.Величина обратная периоду называется частотой повторения сигнала (f = 1/T). Используют понятие круговой частоты. (ω = 2πf)

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы.

Чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

не должно быть разрывов 2-го рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции)

число разрывов 1-го рода (скачков) должно быть конечным

число экстремумов должно быть конечным

Различают несколько форм записи ряда Фурье:

Синусно-косинусная форма записи ряда Фурье

Входящие в формулу кратные основной частоте (ω1) частоты называются гармониками. Гармоники нумеруются в соответствии с индексом k, частота ω k = k ω 1 называется к-ой гармоникой сигнала.

Читайте также:  Коробка отбора мощности с ивановца

Коэф-ты, входящие в данный ряд определяются след образом:

; ;

a/2 – среднее значение с-ла на периоде.

Если S(t) — чётная ф-ция, то все bк = 0 и в ф-ле ряда Фурье будут только косинусные слагаемые. Если S(t) — нечётная ф-ция, то все ак = 0 и в ф-ле ряда Фурье будут только синусные слагаемые.

Вещественная форма записи

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования к в формуле фигурируют два слагаемых синус и косинус.

, где ;— фазаkой гармоники.

Если S(t) является чётной функцией фазы φк могут принимать значения 0 и π, а если S(t) функция нечётная, то возможны значения фазы ±π/2.

Комплексная форма записи

Данная форма представления является наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представления косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент. Вытекает из формулы Эйлера: е jx = cos(x) + jsin(x), cos(x) = ½ ( e jx + e jx ).

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье получим:

.

Учитывая, что ,получим . Формулы называются парой преобразований Фурье. Вторая формула из них позволяет найти спектр, т.е. совокупность гармонических составляющих, образующих в сумме колебание.

Спектр периодической последовательности импульсов состоит из постоянной составляющей и множества гармонических составляющих, частоты которых образуют дискретный ряд значений () кратных основной частоте колебаний. Амплитуды гармонических составляющих или сокращенно гармоник равны, а начальные фазы. Такой спектр называется дискретным или линейчатым. Постоянную составляющую можно рассматривать как гармонику с нулевой частотой колебания и амплитудой.

Источник

Как найти мощность сигнала по графику



И МОЩНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

date image2015-05-13
views image1649

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Действующее, или среднее квадратическое, значение любой периодической функции, например, тока i(t) определяется соотно­шением

Раскладывая i(t) в ряд Фурье (15.5), находим

Второй интеграл при равен нулю, что объясняется свойством ортогональности подынтегральных функций. Первый же интеграл представляет сумму квадратов действующих значений постоянной и всех гармонических составляющих. Поэтому окон­чательно получим

т. е. действующее значение периодического несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадрата его постоянной составляющей и квадратов действующих значений всех его гармоник. Аналогичные выражения можно получить и для напря­жения или э.д. с.

Действующее значение не зависит от начальных фаз гармоник и определяется лишь их амплитудами. Действующее значение из­меряют, в частности, электроизмерительные приборы электромаг­нитной, электродинамической, тепловой систем.

Под средним значением периодической несинусоидальной функции (тока, напряжения) понимают среднее значение этой функции, взятой по абсолютной величине:

Этот интеграл равен среднему значению функции ƒ(t) за поло­жительный полупериод, если она имеет одинаковые положитель­ную и отрицательную полуволны.

Средние значения токов, напряжений измеряют электроизме­рительные приборы выпрямительной системы.

Как известно, активная мощность равна среднему значению мгновенной мощности. Раскладывая ток и напряжение в ряд Фурье, получаем

Таким образом, активная мощность при периодических неси­нусоидальных токах и напряжениях равна сумме активных мощ­ностей постоянной и всех синусоидальных составляющих тока и напряжения:

Реактивную мощность в цепи с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями определяют как сумму реак­тивных мощностей отдельных гармоник:

а полную мощность как произведение действующих значений напряжения и тока:

По при различии форм кривых напряжения и тока сумма квад­ратов активной и реактивной мощности не равна квадрату полной мощности. Дополнительная составляющая, которая учитывает это различие, называется мощностью искажения:

Читайте также:  Запас мощности для генератора

Все указанные составляющие полной мощности в цепи с не­синусоидальными токами и напряжениями связаны соотношением

Активная мощность, которая может быть выделена периоди­ческим сигналом, определяется действием всей совокупности его спектральных составляющих. Эффективность каждой спектраль­ной составляющей определяется распределением мощности или энергии в спектре сигнала.

Чтобы» оценить распределение энергии в спектре данного коле­бания, рассчитаем мощность, выделяемую им в сопротивлении r=l Ом. Ее величина равна квадрату действующего значения тока или напряжения:

В случае периодических несинусоидальных колебаний, учиты­вая выражения (15.5), (15.9), (15.10), получим

Это выражение носит название равенства Парсеваля. Оно вы­ражает мощность периодического сигнала как сумму мощностей его отдельных спектральных составляющих.

Если распределение амплитуд гармоник сигнала по частоте |Cnn)| определяет его АЧС, то показывает распределение мощности или энергии в его спектре и называется энергетическим спектром. Ординаты спектральных линий энерге­тического спектра равны квадрату действующего значения соот­ветствующих гармоник.

Диапазон частот, в пределах которого распределена основная часть энергии сигнала (обычно 90%), называют эффективной ши­риной спектра,

Источник

Энергетические характеристики сигналов. Спектральная плотность энергии

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Пусть дан некоторый сигнал , который характеризует изменение напряжения или силы тока во времени. Тогда будет определять мгновенную мощность, выделяемую на сопротивлении 1 Ом.

Таким образом, периодические сигналы, повторяющиеся на всей оси времени мы можем характеризовать конечной средней мощностью , поскольку их энергия бесконечна. Непериодические сигналы характеризуются конечной энергией , потому что их средняя мощность на всей оси времени равна нулю.

Выражения (1)–(3) справедливы и для комплексного сигнала . В этом случае, мгновенную мощность можно определить как .

Пусть даны два сигнала и , в общем случае комплексные. Скалярным произведением сигналов называется величина равная:

Читайте также:  Потеря мощности мерседес спринтер классик

Заметим, что скалярное произведение сигнала с самим собой возвращает энергию данного сигнала:

Подставим в (4) вместо обратное преобразование Фурье его спектральной плотности . Тогда:

связывающее среднюю мощность периодического сигнала. Для непериодических сигналов мы можем получить аналогичное равенство энергии сигнала во времени и в частотной области. Для этого в обобщенную формулу Рэлея подставим и получим:

Если в выражениях (7)–(9) использовать частоту , выраженную в герц, вместо циклической частоты , измеряемой в единицах рад/c, то и множитель сокращается:

было введено понятие спектральной плотности сигнала и была приведена аналогия поясняющая понятие спектральной плотности, и ее отличие от спектра периодического сигнала.

Из равенства (9) следует, что энергия сигнала может быть представлена как интеграл по всей оси частот:

Сделаем важное замечание. Спектральная плотность энергии игнорирует ФЧХ сигнала. Тогда можно заключить, что одной и той же спектральной плотности энергии могут соответствовать множество различных сигналов, имеющих одинаковую АЧХ и различные ФЧХ.

и на практике анализ поведения убывающей спектральной плотности с ростом частоты имеет важное значение. Однако графический анализ бывает затруднителен ввиду высокой скорости убывания спектральной плотности по частоте, а в случае спектральной плотности энергии затруднителен вдвойне, поскольку возведение АЧХ в квадрат только ускоряет убывание. Поэтому широкое распространение получило представление спектральной плотности энергии в логарифмическом масштабе, выраженной в единицах децибел (дБ):

В качестве примера на рисунке 1 приведены спектральные плотности энергии прямоугольного, треугольного, двустороннего экспоненциального и гауссова импульсов в линейном и логарифмическом масштабе.

Как видно из рисунка 1а, спектральные плотности энергии импульсов в линейном масштабе практически сливаются и очень сложно различимы.

Логарифмическая шкала представления спектральной плотности энергии оказывается удобной при сравнении характеристик сигналов. Если энергии двух сигналов отличаются в 100 раз, то в логарифмической шкале отношение их энергий составляет 20 дБ. Если же энергии отличаются в 1000000 раз, то в логарифмической шкале это соответствует 60 дБ. Удвоение энергии сигнала, в логарифмической шкале соответствует прибавлению 3 дБ.

Читайте также:  Что такое музыкальная мощность колонок

В данном разделе мы рассмотрели энергетические характеристики периодических и непериодических сигналов. Мы показали, что периодические сигналы имеют бесконечную энергию, но конечную среднюю мощность. Средняя мощность непериодических сигналов стремится к нулю, а их энергия конечна.

Было введено понятие скалярного произведения сигналов и получена обобщенная формула Релея,связывающая скалярное произведение во временной и частотной областях.

Установлено равенство Парсеваля для непериодических сигналов, как частный случай формулы Релея.

Введено понятие спектральной плотности энергии как квадрата модуля спектральной плотности сигнала. Также рассмотрено представление спектральной плотности энергии в линейном и логарифмическом масштабе для различных сигналов.

Источник