Меню

Эпюра напряжений представляет собой



Построение эпюр при растяжении и сжатии: продольных сил и нормальных напряжений для ступенчатого стержня (бруса)

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 23.11.2017 · Обновлено 14.03.2021

Приветствую, друзья! Сегодня дебютирует наш курс – «сопромат для чайников», Вы находитесь на сайте проекта SoproMats, который связан с сопроматом и не только. На этой страничке будет выложен первый урок из заявленного экспресс курса, который связан с таким простейшим видом деформации как растяжение (сжатие). В частности, будем учиться строить эпюры для бруса (стержня), который загружен растягивающей и сжимающей силой. Как правило, такое домашнее задание, одним из первых, дают всем студентам, которые начинают знакомиться с сопроматом. После изучения материалов данного урока вы научитесь строить следующие эпюры: продольных сил и нормальных напряжений. Не пугайтесь мудреных названий, на самом деле все эти эпюры строятся очень просто. Что же давайте приступим к изучению!

Построение эпюры продольных сил

Так как это курс для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику. Если вы хотите более детально изучить рассматриваемые здесь вопросы, то могу предложить Вам другие материалы нашего сайта. Например, что касается данного блока статьи, то у нас есть материалы про продольную силу, где представлено полное досье на данный внутренний силовой фактор: что эта за сила, зачем нужна и т.д. Но если Вам некогда залазить в эти дебри, и хотите по-быстрому освоить продольную силу, то оставайтесь здесь, сейчас покажу как строится первая эпюра!

Кстати, вот объект нашего сегодняшнего исследования:

Эпюры при растяжении или сжатии

Чтобы построить эпюру продольных сил, нужно разбить наш брус на несколько участков, на которых эта эпюра будет иметь постоянное значение. Конкретно, для продольной эпюры, границами участков служат те точки, где прикладываются силы. То бишь, для нашего примера, нужно рассмотреть всего 2 участка:

Важно! На эпюру продольных сил, никак не влияет форма бруса, в отличие от других эпюр, которые будем дальше рассчитывать и строить.

На первом участке сила F1 растягивает брус на величину 5кН, поэтому на этом участке, продольная сила будет положительной и равной:

Откладываем это значение на графике. Эпюры в сопромате, принято штриховать перпендикулярно нулевой линии, а также для продольных сил, на эпюрах проставляются знаки:

На втором же участке, сила F2 сжимает брус, тем самым в уравнение продольных сил, она пойдет с минусом:

Откладываем полученное значение на эпюре:

Построение эпюры продольных сил на втором участке

Вот так, достаточно просто, строится эта эпюра!

Построение эпюры нормальных напряжений

Переходим к эпюре нормальных напряжений. В отличие от продольных сил, нормальные напряжения зависят от формы бурса, а если точнее, то от площади его поперечных сечений и вычисляются они, по следующей формуле:

Читайте также:  Пульс частота ритм наполнение напряжение синхронность

То бишь, чтобы найти нормальное напряжение в любом сечении бруса, нужно: продольную силу в этом сечении разделить на его площадь.

Для того чтобы построить эпюру нормальных напряжений, нужно рассчитать ее для любого сечения, каждого участка. В отличие, от продольной силы, здесь границами участков также служат места изменения геометрии бруса. Таким образом, для нашего подопытного бруса, нужно наметить три участка и вычислить напряжение, соответственно, 3 раза:

Разбивка бруса на участки

Зададим брусу на первом участке (I) площадь поперечного сечения A1=2 см 2 , а вторая ступень бруса, допустим, будет иметь площадь A2=4 см 2 (II, III участки). В вашей домашней задаче, эти величины будут даны по условию. Также в задачах, часто, просят определить эти площади из условия прочности, с учетом допустимого напряжения, обязательно сделаю статью про это.

Вычисляем напряжения на каждом участке:

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:

Построение эпюры нормальных напряжений

Вот так, достаточно просто можно построить эпюры для бруса, работающего на растяжение (сжатие). В рамках статьи, была рассмотрена достаточно простая расчетная схема, если Вы хотите развить свои навыки по построению эпюр, то приглашаю Вас на страничку про различные эпюры, где можно найти примеры расчета более сложных брусьев с распределенными нагрузками, где о каждой эпюре подготовлена отдельная статья.

Если Вам понравилась статья, расскажите о ней своим друзьям, подписывайтесь на наши социальные сети, где публикуется информация о новых статьях проекта. Также, там можно задать любой интересующий Вас вопрос о сопромате и не только.

Источник

Нормальные напряжения при изгибе. Эпюры напряжений

В сечении балки, взятом на участке чистого изгиба, возникает только один изгибающий момент

.

Следовательно, в сечении действуют нормальные напряжения σ (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Схема внутренних сил при чистом изгибе

Продольная сила N и изгибающий момент М у будут равны нулю, т. е.

;

.

Из формулы для определения изгибающего момента М х нельзя определить величину нормальных напряжений σ, так как неизвестно, как они распределены по сечению.

Задача определения напряжений σ в сечении балки является статически неопределимой. Пусть отдельное волокно при изгибе испытывает простое растяжение или сжатие. Тогда для него можно записать закон Гука как при растяжении:

Чтобы найти относительную деформацию ε на участке чистого изгиба, выделим элемент балки длиной dz и рассмотрим его деформацию.

Сечения mn и m 1 n 1 остаются плоскими и поворачиваются на угол dφ/2. Волокна нейтрального слоя искривляются, но их длина не изменяется. Радиус кривизны нейтрального слоя обозначим ρ. Тогда имеем:

Читайте также:  Напряжение при параллельном подключении нагрузки

Волокно АВ, расположенное на расстоянии у от нейтрального слоя, удлиняется, радиус его кривизны составляет ρ + у (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Схема деформации элемента балки длиной dz

Относительное удлинение волокна:

.

Тогда .

Подставим данное выражение в формулу для М х:

.

представляет момент инерции сечения относительно оси x, можно записать

.

.

Величина EJ x называется жесткостью поперечного сечения при изгибе.

Из вышеприведенной формулы видно, что если балка изготовлена из однородного материала( Е = const) и имеет постоянное сечение ( J x = const) , то при чистом изгибе ( М = const) ее ось искривляется по дуге окружности ( ρ = const) . Подставим в формулу для определения σ значение кривизны, получим:

.

Из формулы видно, что нормальные напряжения распределяются по сечению неравномерно и достигают наибольшего значения в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. При положительном изгибающем моменте нижние волокна будут растянуты ( ρ > 0), а верхние волокна сжаты ( ρ z. Для этого приравняем к нулю N и М y:

;

.

,

то на основании этого делаем заключение, что нейтральная ось z проходит через центр тяжести сечения, а оси x и у являются главными центральными осями сечения. Эпюра напряжений для сечений, имеющих горизонтальную ось симметрии, всегда будет иметь вид, представленный на рис. 9.5.

При положительном изгибающем моменте все волокна, расположенные выше нейтральной линии, являются сжатыми, а ниже ее – растянутыми.

Рис. 9.5. Эпюра распределения нормальных напряжений в сечениях

с горизонтальной осью симметрии

Максимальные нормальные напряжения возникают при у = у max. Таким образом,

.

Отношение осевого момента инерции к расстоянию от наиболее удаленной точки сечения до нейтральной оси называется осевым моментом сопротивления, т. е.

.

Момент сопротивления измеряется в сантиметрах кубических (см 3 ) и зависит от формы и размеров поперечного сечения, тогда

.

Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии (рис. 9.6), то расстояния от нейтральной оси до крайних нижних и крайних верхних волокон различны.

Рис. 9.6. Эпюра распределения нормальных напряжений

в сечениях без горизонтальной оси симметрии

Обозначим их через h p и h ссоответственно. Тогда напряжения в крайних волокнах выразятся формулами:

; .

9.3. Построение эпюр изгибающего момента М

и поперечной силы Q при изгибе

При расчете балок на изгиб необходимо знать законы распределения внутренних усилий в поперечных сечениях и уметь строить эпюры внутренних силовых факторов.

Рассмотрим три основных типа опорных связей балки.

1. Шарнирно-неподвижная опора (рис. 9.7, а- левая опора балки), ограничивающая горизонтальное и вертикальное перемещение опорной связи и лишающая систему двух степеней свободы.

2. Шарнирно-подвижная опора (рис. 9.7, а — правая опора балки), ограничивающая вертикальное перемещение опорной связи и лишающая систему одной степени свободы.

Читайте также:  Регулятор напряжения релейная защита

3. Жесткая заделка (рис. 9.7, б), не допускающая поворота и перемещений по вертикали и горизонтали сечения балки, примыкающего к опоре и лишающая систему трех степеней свободы.

Рассмотрим построение эпюр М и Q на конкретном примере (рис. 9.7, а). Решение задачи начинаем с вычерчивания расчетной схемы, приложив к балке внешние активные и реактивные силы. Заданная система является статически определимой, следовательно, из условий равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных закреплений определяем вертикальные реакции в опорах:

;

.

Для определения реакции Н А имеем:

откуда Н А = 0.

Для проверки правильности вычислений воспользуемся условием равенства нулю суммы всех вертикальных сил S у = 0, откуда получим:

, реакции найдены верно.

Рис. 9.7. Расчетная схема однопролетной балки

Для определения внутренних силовых факторов (изгибающего момента М( z) и поперечной силы Q( z)), как функций от продольной координаты z, воспользуемся методом сечений. Для получения этих зависимостей разбиваем балку на участки, границами которых являются следующие сечения: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенной нагрузки; сечения, в которых скачкообразно изменяется жесткость балки; точки, где происходит изменение положения элементов стержневой системы со сложной структурой.

Заданная балка (рис. 9.7, в) состоит из двух участков — первого (0 £ z 1£ a) и второго ( a £ z 2 £ a + b). Рассматривая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и равновесие отсеченных частей балки при действии на них всех внешних сил и внутренних усилий, составим общие уравнения для внутренних силовых факторов.

В системе координат y0 z, принятой на рис. 9.8, а, положительный момент вызывает растяжение нижних волокон балки. При построении эпюры М( z) положительные ординаты откладываются вниз от нулевой линии, отрицательные – вверх.

Рис. 9.8. Правило знаков для изгибающих моментов

и поперечных сил

Для поперечных сил, независимо от направления координатных осей, устанавливается следующее правило знаков: если результирующая поперечная сила Q y вращает рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она считается положительной, в противном случае — отрицательной (рис. 9.7, б). При построении эпюры Q( z) положительные ординаты откладываются вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз.

Из условия равновесия S M x = 0; S y = 0 отсеченной части балки (рис. 9.7, г), расположенной левее от сечения z 1 (первый участок), имеем:

Для определения M x и Q y на втором участке рассмотрим равновесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z 2 (рис. 9.7, г), т. е. S M x = 0; S y = 0, откуда

Источник