Меню

Два множества имеют одинаковую мощность если



Мощность множества

Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinalis ← cardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

  1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
  2. Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно однозначное соответствие.
  3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества Aобозначается через |A|. Сам Кантор использовал обозначение \overline<\overline data-lazy-src=

  1. |A|=|B|, или Aи Bравномощны;
  2. |B|» border=»0″/>, или AмощнееB, т. е. Aсодержит подмножество, равномощное B, но Aи Bне равномощны;
  3. |A| и <img src=
  4. С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
  5. Мощность декартова произведения: |A\times B|=|A|\cdot |B|
  6. Формула включения-исключения в простейшем виде: |A\cup B|=|A| + |B| - |A\cap B|
  7. См. также

    Литература

    • А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
    • Р. Курант, Г. Роббинс,Что такое математика? Глава II, § 4.
    • Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М .: Просвещение, 1991. — С. 109-110. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
    Просмотр этого шаблонаЧисловые системы
    Счётные
    множества
    Натуральные числа (\scriptstyle\mathbb<N data-lazy-src=Вещественные (\scriptstyle\mathbb<R data-lazy-src=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
    См. также Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Смотреть что такое «Мощность множества» в других словарях:

    Мощность множества — в математике, обобщение на произвольные множества понятия «число элементов». М. м. определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых… … Большая советская энциклопедия

    МОЩНОСТЬ — множества понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие число элементов . Мощность множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества называются… … Большой Энциклопедический словарь

    МОЩНОСТЬ (в математике) — МОЩНОСТЬ множества, понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие «число элементов». Мощность множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества… … Энциклопедический словарь

    мощность — и; ж. 1. к Мощный (1 5 зн.). М. голоса. М. землетрясения. Удивиться мощности животного. М. организма. М. угольного пласта. М. государства. Проверить м. армии. 2. Физ., техн. Величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение… … Энциклопедический словарь

    Мощность — 1) (в физике) некоторая физическая величина, характеризующая работу в единицу времени (имеет место в механике, электричестве, акустике, оптике и т. д.); 2) (в математике) определяют мощность множества, которая характеризует то общеелчто присуще… … Начала современного естествознания

    Мощность (значения) — Мощность: Мощность (в физике и технике) отношение работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени. Мощность множества (в математике) число элементов множества. Вычислительная мощность компьютера число операций,… … Википедия

    МОЩНОСТЬ — множества, понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие число элементов . М. множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества наз. эквивалентными,… … Естествознание. Энциклопедический словарь

    МОЩНОСТЬ — кардинальное число, множества А такое свойство этого множества, к рое присуще любому множеству В, эквивалентному А. При этом два множества наз. эквивалентными (или равно мощным и), если между ними возможно установить взаимно однозначное… … Математическая энциклопедия

    Мощность статистических критериев (power of tests) — Проверка гипотезы предполагает сопоставление двух конкурирующих гипотез. Нулевая гипотеза указывает на невозможность редких, необычных событий. Альтернативная гипотеза, напротив, утверждает, что такие события возможны. Напр., нулевая гипотеза… … Психологическая энциклопедия

    Упорядоченные и частично упорядоченные множества — (математичексие) множества, в которых каким либо способом установлен порядок следования их элементов или, соответственно, частичный порядок. Понятия порядка и частичного порядка следования элементов определяются следующим образом. Говорят … Большая советская энциклопедия

    Источник

    1.23 Понятие мощности множества

    Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же количества элементов. Если эквивалентны между собой два бесконечных множества M и N, то говорят, что M и N имеют одинаковую Мощность.

    Таким образом, мощность – это то общее, что есть у любых двух, эквивалентных между собой множеств. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с привычным понятием числа элементов множества.

    Мощность множества натуральных чисел и любого другого счетного множества мы будем обозначать l0. Это самая маленькая мощность среди бесконечных множеств.

    Множества, эквивалентные множеству всех действительных чи­сел отрезка [0; 1], имеют Мощность континуума. Эта мощность обоз­начается символом С (или l). Множества с мощностью континуума имеют более «высокий порядок» бесконечности по сравнению со счетными множествами.

    Для мощностей конечных множеств имеются понятия «равен­ства», а также «больше» и «меньше». Эти понятия справедливы и для бесконечных множеств.

    Пусть А и В – два произвольных множества, а M(А) и M(В) – их мощности. Тогда возможны следующие случаи:

    1. А эквивалентно некоторому подмножеству В, а В эквивалентно некоторой части А.

    2. А содержит некоторую часть, эквивалентную В, но в В нет части, эквивалентной А.

    3. В содержит некоторую часть, эквивалентную А, но в А нет части, эквивалентной В.

    · В первом случае множества А и В в силу теоремы Кантора – Бернштейна эквивалентны между собой, т. е. M(А) = M(В).

    · Во втором случае естественно считать, что M(А) > M(В).

    · В третьем случае M(А) M(В) или M(А) M(М).

    Итак, для любой мощности мы можем построить множество большей мощности, затем еще большей и т. д., получая таким образом неограниченную сверху шкалу мощностей.

    Мощность множества М* обозначают символом 2M , где M – мощность множества М. Смысл этого обозначения можно понять, рас­смотрев случай конечного М.

    Тогда теорему можно выразить неравенством 2M > M.

    В частности, при M = l0 мы получим неравенство 2l0 > l0. Возникает вопрос, чему равна мощность 2l0 . Оказывается, что 2l0 = С, т. е. Мощность множества подмножеств натурального ряда равна мощности континуума.

    Источник

    Понятие мощности множества. Сравнение множеств по мощности. Теорема Кантора-Бернштейна

    Мощность: Два множества А и В называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность, если между их элементами можно установить взаимооднозначное соответствие.

    Билет 9

    Гомеоморфизм графов. Теорема Понтрягина – Куратовского.

    Гомеоморфизм. Графы переводимые друг в друга конечным числом подразделения и слияния рёбер называется – гомеоморфными.

    Оношение гомеоморфизма есть отношение эквивалентности, заданное на множестве всех неор. Графов.

    2) р => р – симметричность

    3) р и р => р – транзитивность

    Для того чтобы граф G имел плоскую ориентацию, необходимо и достаточно, чтобы любой его подграф не был гомеоморфен не одному из графов К5 и К3,3.

    Билет 10

    Отношения порядка. Основные свойства. Частично упорядоченные множества. Линейно упорядоченные множества.

    Частичный порядок: отношение, в котором одновременно выполняется рефлексивность, антисимметричность и транзитивность, называется отношением частичного порядка.

    Линейный порядок: отношение частичного порядка называется отношением линейного порядка, если любые 2 элемента множества Х сравнимы между собой, т.е. для

    Упорядоченные множества: Множество Х с заданным на нём частичным (линейным) порядком называется частично (линейно) упорядоченным.

    Пусть Х – частично упорядоченное множество.

    х — называется минимальным (максимальным) элементом множества Х.

    2)a a – наименьший элемент.

    Билет 10

    Раскраска графов. Теорема о пяти красках. Гипотеза четырех красок.

    Хроматическое число графа G — минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа G так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета. Обозначается χ(G).

    Если наибольшая из степеней вершин графа равна Р, то этот граф Р+1 -раскрашиваем.

    K-раскрашиваемый граф — граф, хроматическое число которого не превосходит K. То есть его вершины можно раскрасить K разными цветами так, что у любого ребра концы будут разного цвета.

    K-хроматический граф — граф, хроматическое число которого равно K. То есть вершины графа можно раскрасить K цветами так, что у любого ребра концы будут разного цвета, но так раскрасить K − 1 цветами — уже нельзя.


    Билет 11

    Отображения, сохраняющие порядок. Изоморфизм между частично упорядоченными множествами

    Частичный порядок: отношение, в котором одновременно выполняется рефлексивность, антисимметричность и транзитивность, называется отношением частичного порядка.

    Линейный порядок: отношение частичного порядка называется отношением линейного порядка, если любые 2 элемента множества Х сравнимы между собой, т.е. для

    Упорядоченные множества: Множество Х с заданным на нём частичным (линейным) порядком называется частично (линейно) упорядоченным.

    Два частично упорядоченных множества называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм, то есть взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок. (Естественно, что в этом случае они равномощны как множества.) Можно сказать так: биекция называется изоморфизмом частично упорядоченных множеств А и В , если

    Очевидно, что отношение изоморфности рефлексивно (каждое множество изоморфно самому себе), симметрично (если изоморфно , то и наоборот) и транзитивно (два множества, изоморфные третьему, изоморфны между собой). Таким образом, все частично упорядоченные множества разбиваются на классы изоморфных, которые называют порядковыми типами. (Правда, как и с мощностями, тут необходима осторожность — изоморфных множеств слишком много, и потому говорить о порядковых типах как множествах нельзя.)

    Конечные линейно упорядоченные множества из одинакового числа элементов изоморфны.

    Билет 11

    Плоские и планарные графы. Теорема Эйлера.

    Планарный граф — граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер.

    Более строго: Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней нарисовать без пересечения ребер. Уложенный граф называется геометрическим, его вершины — это точки плоскости, а ребра — линии на ней. Области, на которые граф разбивает поверхность, называются гранями. Плоский граф — граф, уложенный на плоскость. Граф называется планарным, если он изоморфен некоторому плоскому графу.

    Непланарны К5(полный) и К33

    Вершины – рёбра + грани = 2

    Докво по индукции ( добавл 1 грань, r ребер и r-1 вершину)

    Источник

Читайте также:  Мощность льда что это