Меню

Что показывает эпюра нормальных напряжений



Нормальные напряжения и их эпюры

Определение нормальных напряжений и деформаций при косом изгибе основано на принципе независимости действия сил. Всю нагрузку проецируют на две главные плоскости балки и строят эпюры изгибающих моментов в этих двух плоскостях. Затем по известным формулам прямого изгиба определяют напряжения и деформации. [1]

Для определения нормального напряжения в произвольной точке найдем его составляющие от каждого фактора для случая внецентренного растяжения. [2]

Для определения нормальных напряжений по сечениям вдоль образующих аппарат рассматривают как балку, лежащую на принятом числе опор. Число опор выбирают в зависимости от материала аппарата, его длины и рабочих условий. Для наиболее распространенных размеров горизонтальных аппаратов и емкостей разработан стандарт на число опор и расстояние между ними. [3]

Для определения нормальных напряжений ахх оказывается достаточно ввести гипотезу плоских сечений. [4]

При определении нормальных напряжений и перемещений обычно учитывают только изгибающие моменты и пренебрегают влиянием перерезывающих сил. Это обусловлено двумя причинами: а) малым влиянием перерезывающих сил на величину нормальных напряжений и перемещений ( особенно в тонких и длинных валах) и, главное, б) отсутствием инженерных методов расчета вала с учетом перерезывающих сил. [5]

Формула для определения нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях балок при прямом изгибе, а также выводы относительно положения нейтральной оси приводились к случаю, когда поперечное сечение балки имеет по меньшей мере одну ось симметрии и силовая плоскость проходит через эту ось. [6]

Условия прочности при растяжении, сжатии. Допускаемые напряжения.

Закон Гука при растяжении, сжатии.

По определению относительная деформация стержня равна

,

где , – первоначальная и текущая длина стержня соответственно.

Если удлинение стержня вызвано действием растягивающих нормальных напряжений , то относительная деформация

называется силовой деформацией (рис. 1.10, а). Если удлинение стержня вызвано изменением температуры , то деформация

называется температурной деформацией (рис. 1.10, б).

Рис. 1.10. Силовая (а) и температурная (б) деформации

В общем случае удлинение стержня происходит за счёт действия приложенных нагрузок и изменения температуры. Поэтому

. (1.16)

Как показывает опыт, силовая деформация стержня (рис. 1.10, а) пропорциональна действующим напряжениям , а температурная деформация стержня (рис. 1.10, б) пропорциональна приращению температуры :

, . (1.17)

Постоянная называется модулем Юнга (модулем растяжения или модулем упругости первого рода), постоянная температурным коэффициентом линейного расширения. Для углеродистых сталей при комнатной температуре модуль Юнга и коэффициент линейного расширения имеют следующий порядок величины: » 2×1011 Па, » 12×10–6 К–1.

Читайте также:  Какое напряжение выдержит витая пара

Подставляя (1.17) в (1.16), имеем

(1.18)

. (1.19)

Равенство (1.19), как и эквивалентное ему равенство (1.18), носит название закона Гука при растяжении.

К примеру, если оба конца стержня закреплены, то его длина неизменна, а деформация . Тогда по формуле (1.16) при нагревании (охлаждении) стержня силовая деформация равна и противоположна по знаку тепловой деформации:

.

Согласно (1.19) возникающие при этом напряжения равны

.

Следовательно, когда приращение температуры , в стержне действуют сжимающие напряжения: . Напротив, в случае в стержне возникают растягивающие напряжения: .

Деформации при растяжении-сжатии и закон Гука

Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. При сжатии наоборот.

(2)относительное удлинение или линейные деформации.

Для многих конструкционных материалов при нагружении до определенных пределов опыты показывают линейную зависимость линейных деформаций от нормальных напряжений.

(3)закон Гука.

Е- модуль продольной упругости или упругости первого рода.

Срез и смятие. Основные допущения на срез и смятия.

Источник

ISopromat.ru

Задача

Построить эпюру распределения нормальных напряжений для подобранного ранее прямоугольного сечения двухопорной балки с размерами h=155мм и b=80мм.

Прямоугольное сечение балки

Пример решения

Предыдущие пункты решения задачи:

Рассмотрим пример построения эпюры распределения нормальных напряжений в опасном сечении балки.

Прямоугольное сечение имеет три характерных точки:

Характерные точки прямоугольного сечения балки

Для построения эпюры достаточно найти значения в любых двух точках, потому что при изгибе нормальная составляющая полных напряжений по высоте сечения меняется линейно.

Формула расчета нормальных напряжений при изгибе

где Ix – осевой момент инерции сечения,
y – расстояние от оси х проходящей через центр тяжести сечения до точки в которой рассчитывается напряжение.

Очевидно, что на самой оси x (точка №2) где координата y=0 напряжения отсутствуют.

Наибольшие значения нормальных напряжений будут на максимальном удалении от оси x, то есть при ymax=h/2 (в точках 1 и 3).

Формула максимальных нормальных напряжений при изгибе

Расчет момента инерции сечения

Расчет максимальных напряжений

При изгибе верхний и нижний слой балки испытывают продольную деформацию разных знаков.

Знаки напряжений в точках 1 и 3 определяются по построенной ранее эпюре изгибающих моментов Mx.

Эпюра изгибающих моментов балки

В данном случае по ней видно, что в опасном сечении балки эпюра моментов имеет положительное значение (+47,6 кНм), что согласно правила знаков при изгибе говорит о том, что в рассматриваемом месте балки сжимаются верхние слои (нижние соответственно растягиваются).

Поэтому в соответствии с правилом знаков для напряжений, нормальные напряжения в верхней точке 1 будут отрицательны (потому что сжатие), а в точке 3 – положительны (растяжение) или σ т1=-148,6МПа, σ т3=148,6МПа.

Читайте также:  При последовательном соединении напряжение прямо пропорционально сопротивлению

По полученным данным строим эпюру

Эпюра нормальных напряжений балки при изгибе

Как видно по построенной эпюре, нормальные напряжения не превышают заданных допустимых значений, что говорит о том, что размеры прямоугольного сечения были подобраны верно, и прочность балки обеспечена.

Источник

Построение эпюр при растяжении и сжатии: продольных сил и нормальных напряжений для ступенчатого стержня (бруса)

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 23.11.2017 · Обновлено 14.03.2021

Приветствую, друзья! Сегодня дебютирует наш курс – «сопромат для чайников», Вы находитесь на сайте проекта SoproMats, который связан с сопроматом и не только. На этой страничке будет выложен первый урок из заявленного экспресс курса, который связан с таким простейшим видом деформации как растяжение (сжатие). В частности, будем учиться строить эпюры для бруса (стержня), который загружен растягивающей и сжимающей силой. Как правило, такое домашнее задание, одним из первых, дают всем студентам, которые начинают знакомиться с сопроматом. После изучения материалов данного урока вы научитесь строить следующие эпюры: продольных сил и нормальных напряжений. Не пугайтесь мудреных названий, на самом деле все эти эпюры строятся очень просто. Что же давайте приступим к изучению!

Построение эпюры продольных сил

Так как это курс для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику. Если вы хотите более детально изучить рассматриваемые здесь вопросы, то могу предложить Вам другие материалы нашего сайта. Например, что касается данного блока статьи, то у нас есть материалы про продольную силу, где представлено полное досье на данный внутренний силовой фактор: что эта за сила, зачем нужна и т.д. Но если Вам некогда залазить в эти дебри, и хотите по-быстрому освоить продольную силу, то оставайтесь здесь, сейчас покажу как строится первая эпюра!

Кстати, вот объект нашего сегодняшнего исследования:

Эпюры при растяжении или сжатии

Чтобы построить эпюру продольных сил, нужно разбить наш брус на несколько участков, на которых эта эпюра будет иметь постоянное значение. Конкретно, для продольной эпюры, границами участков служат те точки, где прикладываются силы. То бишь, для нашего примера, нужно рассмотреть всего 2 участка:

Важно! На эпюру продольных сил, никак не влияет форма бруса, в отличие от других эпюр, которые будем дальше рассчитывать и строить.

На первом участке сила F1 растягивает брус на величину 5кН, поэтому на этом участке, продольная сила будет положительной и равной:

Читайте также:  Монитор напряжения материнской платы

Откладываем это значение на графике. Эпюры в сопромате, принято штриховать перпендикулярно нулевой линии, а также для продольных сил, на эпюрах проставляются знаки:

На втором же участке, сила F2 сжимает брус, тем самым в уравнение продольных сил, она пойдет с минусом:

Откладываем полученное значение на эпюре:

Построение эпюры продольных сил на втором участке

Вот так, достаточно просто, строится эта эпюра!

Построение эпюры нормальных напряжений

Переходим к эпюре нормальных напряжений. В отличие от продольных сил, нормальные напряжения зависят от формы бурса, а если точнее, то от площади его поперечных сечений и вычисляются они, по следующей формуле:

То бишь, чтобы найти нормальное напряжение в любом сечении бруса, нужно: продольную силу в этом сечении разделить на его площадь.

Для того чтобы построить эпюру нормальных напряжений, нужно рассчитать ее для любого сечения, каждого участка. В отличие, от продольной силы, здесь границами участков также служат места изменения геометрии бруса. Таким образом, для нашего подопытного бруса, нужно наметить три участка и вычислить напряжение, соответственно, 3 раза:

Разбивка бруса на участки

Зададим брусу на первом участке (I) площадь поперечного сечения A1=2 см 2 , а вторая ступень бруса, допустим, будет иметь площадь A2=4 см 2 (II, III участки). В вашей домашней задаче, эти величины будут даны по условию. Также в задачах, часто, просят определить эти площади из условия прочности, с учетом допустимого напряжения, обязательно сделаю статью про это.

Вычисляем напряжения на каждом участке:

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:

Построение эпюры нормальных напряжений

Вот так, достаточно просто можно построить эпюры для бруса, работающего на растяжение (сжатие). В рамках статьи, была рассмотрена достаточно простая расчетная схема, если Вы хотите развить свои навыки по построению эпюр, то приглашаю Вас на страничку про различные эпюры, где можно найти примеры расчета более сложных брусьев с распределенными нагрузками, где о каждой эпюре подготовлена отдельная статья.

Если Вам понравилась статья, расскажите о ней своим друзьям, подписывайтесь на наши социальные сети, где публикуется информация о новых статьях проекта. Также, там можно задать любой интересующий Вас вопрос о сопромате и не только.

Источник