Меню

Баланс мощностей теорема взаимности



Основы электротехники задачи поТОЭ

Теорема о взаимности

Выделим из сложной схемы две произвольные ветви “m” и “n”, в одной из которых включен источник ЭДС E (в ветви m). Теорема о взаимности гласит, что если источник ЭДС E, включенный в ветви “m”, вызывает в ветви “n” частичный ток I , то такой же источник ЭДС E, включенный в ветвь “n”, вызовет в ветви “m” такой же частичный ток I (рис.23) .

Доказательство теоремы о взаимности вытекает из принципа наложения. Частичные токи равны:

— для схемы рис. 23а, — для схемы рис. 23б. Содержание задач относится к теме «Выпрямители и включает: 1) составление схемы одно- и двухполупериодного выпрямителей на полупроводниковых вентилях; 2) подбор диодов для таких схем по заданным электрическим параметрам тока, напряжения, мощности. При изучении программного материала темы обратите особое внимание на устройство и работу полупроводниковых, а также на схемы выпрямителей на полупроводниковых вентилях. Рекомендуется также ознакомится с приводимым описанием.

Так как взаимные проводимости в линейной цепи равны (Gmn=Gnm), то соответственно равны токи в обеих схемах.

9. Теорема о компенсации

Формулировка теоремы: любой пассивный элемент электрической схемы можно заменить а) идеальным источником напряжения с ЭДС, равной напряжению на этом элементе (E=U) и направленной навстречу току, б) идеальным источником тока J, равным току в этом элементе (J=I) и направленным согласно току I.

Выделим пассивный элемент Rk с током Ik и напряжением Uk из схемы цепи (рис. 24а). Для доказательства п. а) теоремы включим последовательно с элементом Rk навстречу друг другу два идеальных источника ЭДС (рис. 24б). Такое включение источников ЭДС не вызовет изменения режима сложной схемы, так как их действие взаимно компенсируется. Cоставим потенциальное уравнение между точками “a” и “d” :

, откуда следует , или .

Точки “a” и “d”, как точки равного потенциала, можно закоротить и закороченный участок “a — d” из схемы удалить без нарушения ее режима. В результате удаления закороченного участка схема получает вид рис. 24в, в которой пассивный элемент Rk заменен идеальным источником ЭДС .

Для доказательства п. б) теоремы включим параллельно с элементом Rk два идеальных источника тока , направленные навстречу друг другу (рис. 25б).

Такое включение источников тока не вызовет изменения режима сложной схемы, так как их действия взаимно компенсируются. С другой стороны ток в ветви “a — c” равен нулю ( , и эту ветвь можно отключить без нарушения режима остальной части схемы. В результате отключения схема получает вид рис. 25в, в которой пассивный элемент Rk заменен идеальным источником тока Jk=Ik .

Специальные методы расчета

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

Метод контурных токов

Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно &и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим& токи ветвей через контурные токи:

;

; ;

; .

Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем

.

Поскольку ,

то

.

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Особенности расчёта нелинейных электрических цепей.

Общих методов расчета нелинейных цепей не существует. Известные приемы и способы имеют различные возможности и области применения. В общем случае при анализе нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена следующими методами:

графическими; аналитическими; графо-аналитическими; итерационными.

Переменные ток в однородных идеальных элементах

Источник

Теорема взаимности в электродинамике

Перенос энергии или передача сигнала происходит от источника энергии к потребителю энергии или от источника сигнала к приемнику. Зададим вопрос, изменяются ли свойства среды или электрических цепей, по которым происходит передача энергии или сигнала, от направления этой передачи. Мы сейчас увидим, что существуют в природе электрические цепи и такие среды, в которых распространяются электромагнитные волны, что их свойства не зависят от направления распространения волны или направления протекания тока. Такие цепи и среды называются Взаимными. Существуют цепи и среды, свойства которых зависят от направления распространения волны или направления протекания тока. Такие цепи и среды называются Невзаимными.

Рассмотрим линейный четырехполюсник (рис.2.3.1).

u2
u1
-i2
-i1

Рис.2.3.1. Напряжение и ток на входе и выходе четырехполюсника.

Электрическая цепь описывается Y или Z Матрицей.

(2.3.1)

Электрическая цепь называется взаимной, если ее Y или Z матрица симметрична, т. е.

(2.3.2)

Если во взаимной цепи поменять местами источник ЭДС и амперметр, то показания амперметра не изменятся.

Это утверждение иллюстрируется рис.2.3.2 и 2.3.3. Полагаем, что ЭДС источника , а внутреннее сопротивление амперметра равно нулю. Тогда:

(2.3.3)

Рис.4.1.2. Генератор ЭДС и нагрузка в виде амперметра с нулевым внутренним сопротивлением (к определению свойств взаимного четырехполюсника).

Поменяем местами источник ЭДС и амперметр. Тогда:

(2.3.4)

Если выполнено условие (2.3.2), то .

Рис.2.3.3. Генератор ЭДС и амперметр переставлены. Если показания амперметра не меняются, четырехполюсник взаимен.

Аналогично обстоит дело и в случае СВЧ канала передачи сигналов (рис.2.3.4): если цепи питания антенн и среда между антеннами обладают свойствами взаимности, то при перемене местами генератора и приемника излучения, показания индикатора на шкале приемника не изменятся.

В электродинамике доказывается теорема взаимности. Эта теорема определяет условия, при которых электрическая цепь или среда, в которой распространяется волна, обладают свойствами взаимности.

Рис.2.3.4. Иллюстрация проявления взаимности при передаче СВЧ сигнала. Если цепи антенн и среда между антеннами обладают взаимностью, перестановка генератора и приемника ничего не меняет.

При обсуждении экспериментальных иллюстраций проявления взаимности электрических цепей нужно помнить о сформулированном выше условии, что цепи линейны. Если об этом забыть, то можно представить себе эксперимент, когда генератор мощностью несколько киловатт меняется местами с высокочувствительным приемником (рис. 2.3.4), связанным с небольшой антенной. При такой замене небольшая антенна приемника под действием мощности генератора просто сгорит. Это будет проявление нелинейности электродинамических свойств небольшой антенны приемника.

Если электродинамичемкая система (цепь) заполнена средой со скалярной диэлектрической и магнитной проницаемостями, то такая система (цепь) взаимна.

Прежде, чем доказать сформулированную теорему, рассмотрим следующее соотношение, известное в электродинамике как Лемма Лоренца.

Хендрик Антон Лоренц (1853 – 1928) – нидерландский физик теоретик. Лемма Лоренца формулируется так:

Если имеется два источника когерентных колебаний, то справедливо следующее соотношение:

(2.3.5)

Где Электромагнитное поле, созданное источником , Поле, созданное источником . Источники могут быть расположены произвольно.

Соотношение (2.3.5) верно, если диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, в которой существует поля, возбужденные источниками А и Б, скалярны, то есть и скаляры. Лемма Лоренца является следствием уравнений Максвелла.

Применим к формуле (2.3.5) соотношение из векторной алгебры, которым мы уже неоднократно пользовались:

(2.3.6)

Используя уравнения Максвелла, исключим роторы из полученного соотношения. Тогда получим

(2.3.7)

Если магнитная и диэлектрическая проницаемости является скалярами, мы можем записать следующие равенства: и .

Подставляя эти равенства в правую часть равенства (2.3.7), убедимся, что эта часть равенства равна нулю. Таким образом, справедливость леммы Лоренца доказана.

Используем теорему Гаусса-Остроградского к соотношению (2.3.5), получим:

(2.3.8)

Пусть изображенный на рис.2.3.1 четырехполюсник имеет два плеча, затянутые поверхностями Sp и Sq. Интеграл по каждой из поверхностей можно заменить произведением напряжения на ток:

Рис.2.3.5. Напряжения и токи от источников A и B на входах Р и Q четырехполюсника (к выводу теоремы о взаимности).

(2.3.9)

Тогда (2.3.5) может быть переписано в следующем виде:

(2.3.10)

Запишем токи через напряжения, используя компоненты Y-матрицы:

— от генератора A,

— от генератора B.

Подставим в (2.3.10). Приводя подобные члены, получим:

(2.3.11)

Поскольку Могут быть любыми, то

(2.3.12)

Т. е. Y-матрица симметрична. В соответствии с данным в начале параграфа определением рассматриваемая среда взаимна. Или другими словами, если среда, заполняющая систему, описывается скалярными диэлектрической и магнитной проницаемостями, то Y и Z — матрицы системы симметричны, т. е. система взаимна.

Если диэлектрическая и магнитная проницаемости материала скаляры, то материал является изотропным, то есть его свойства не зависят от направления векторов поля.

В этом параграфе мы несколько сузили определение теоремы взаимности. В более полной формулировке теорема взаимности формулируется так: Если среда, заполняющая систему, описывается симметричными тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости, то Y и Z -матрицы системы симметричны, т. е. система взаимна.

Рис.2.3.6. Y-циркулятор как пример невзаимной цепи. Если антенна плохо согласована, то отраженная от антенны мощность не нарушает работу передатчика, а просто поглощается в нагрузке, что очень важно в радиолокации.

Для упрощения изложения материала в этом параграфе мы не стали пользоваться тензорным описанием диэлектрической и магнитной проницаемости среды.

В Главе №№ мы будем рассматривать СВЧ свойства намагниченного феррита. Там мы будем говорить о тензоре магнитной проницаемости феррита, причем этот тензор окажется несимметричным, и, соответственно СВЧ устройства, содержащие намагниченный феррит, невзаимными. Действительно, для осуществления невзаимного устройства нужна среда с проницаемостью, описываемой несимметричным тензором. Такой средой служит намагниченный феррит. Забегая вперед, приведем пример невзаимной СВЧ цепи, которая имеет название Y-циркулятор. Рис.2.3.6 иллюстрирует пример невзаимной цепи с Y-циркулятором. Y-циркулятор широко используется в технике СВЧ, в частности для защиты СВЧ-передатчика от волны, отраженной от несогласованной нагрузки.

Вернемся к цепям и средам, обладающим взаимностью, то есть удовлетворяющим условиям реализации теоремы взаимности. Например, любая антенна, не содержащая в своей конструкции намагниченного феррита, имеет одинаковые свойства как в режиме приема, так и в режиме передачи. Поэтому, как правило, расчет антенн производится в режиме передачи, то есть в режиме излучения волн.

Источник

Читайте также:  Прибавка мощности от прямотока