Меню

Автокорреляционная функция случайного процесса связана со спектром мощности



Основные характеристики случайных процессов , страница 2

Прямая черта означает усреднение по ансамблю реализаций, а волнистая черта – усреднение по времени.

Корреляционные функции обладают следующими основными свойствами:

1. и , т. е. они чётные.

2. При эти функции максимальны: , .

3. С ростом они убывают: и .

Типичные кривые и , иллюстрирующие перечисленные свойства, показаны на рис. 4.1, а, б. На рис. 4.1, в дана нормированная корреляционная функция

обладающая теми же свойствами.

5. Рассмотренные функции убывают не обязательно монотонно. Немонотонность имеет место, например, для процесса, содержащего детерминированную периодическую составляющую.

6. Для случайного процесса, не содержащего детерминированных составляющих, можно указать такой временной интервал, называемый интервалом корреляции , что при значения и практически некоррелированы, т. е. .

Интервал корреляции определяют либо долей от , либо полушириной основания прямоугольника единичной высоты, площадь которого равна площади под кривой . В первом случае для определения (рис. 4.1, в) нужно решить уравнение

а во втором для определения (рис. 4.1, г) необходимо вычислить интеграл

При колебательном характере изменения интервал корреляции определяется координатой прохождения через нуль.

Заметим, что равенство или нулю ещё не означает независимость случайных величин и , в то время как независимые случайные величины всегда некоррелированы и для них . Однако для нормального случайного процесса отсутствие корреляции равносильно независимости.

7. Автокорреляционная функция случайного процесса связана с его спектральной плотностью мощности (СПМ) . Эта связь согласно теореме Винера-Хинчина устанавливается парой преобразований Фурье:

АКФ и СПМ процессов присущи свойства, которые характерны для любой пары функций, связанных преобразованиями Фурье. В частности, чем уже АКФ , тем шире СПМ и, наоборот, чем шире АКФ , тем уже СПМ .

Если в качестве меры ширины спектра мощности ввести эффективную (энергетическую) ширину, определяемую основанием равновеликого по площади прямоугольника (на положительной полуоси частот), т. е.

то произведение интервала корреляции на ширину спектра есть величина постоянная

При суммировании двух случайных процессов, т. е.

обладающих известными характеристиками, автокорреляционная функция суммы

т. е. равна сумме автокорреляционных функций , и так называемых взаимных корреляционных функций (ВКФ) и этих процессов.

Случайные процессы называют стационарно связанными, если ВКФ и зависят не от самих аргументов и , а только от разности . В этом случае

Для статистически независимых процессов , и это означает, что процессы не коррелированы. Обратное утверждение в общем случае несправедливо.

Отметим, что ВКФ не обязательно обладает перечисленными свойствами автокорреляционной функции (АКФ).

Одномерный закон распределения суммарного процесса Z(t) в случае статистически независимых процессов X(t) и Y(t) определится как композиция законов распределения слагаемых, т. е. как свертка

при этом характеристическая функция qz (v) равна произведению характеристических функций исходных процессов, т. е.

С помощью характеристических функций удобно также находить плотность вероятности стационарного случайного процесса, подвергнутого функциональному преобразованию. Так если , то

Наконец, отметим некоторые свойства нормального узкополосного процесса, сформированного, например, из белого шума вырезанием узкой полосы частот и представляющего собой квазигармоническое колебание вида

где и – огибающая и начальная фаза – медленные функции по сравнению с .

Одномерная плотность вероятности огибающей описывается законом Рэлея:

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 267
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 603
  • БГУ 155
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 963
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 120
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 498
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 131
  • ИжГТУ 145
  • КемГППК 171
  • КемГУ 508
  • КГМТУ 270
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2910
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 109
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 369
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 331
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 637
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 455
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 213
  • НУК им. Макарова 543
  • НВ 1001
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1993
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 302
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 120
  • РАНХиГС 190
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 245
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 123
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 131
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1599
  • СПбГТИ (ТУ) 293
  • СПбГТУРП 236
  • СПбГУ 578
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 194
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2424
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 325
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 309
Читайте также:  Коробка отбора мощности это запчасть

Полный список ВУЗов

  • О проекте
  • Реклама на сайте
  • Правообладателям
  • Правила
  • Обратная связь

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник

Исследование функций автокорреляции случайных процессов

Функцией автокорреляции случайного процесса называется смешанный центральный момент второго порядка системы двух сечений , , рассматриваемый как функция моментов времени и :

где – плотность вероятности системы , ;

, – математические ожидания сечений и ;

, – значения сечений и соответственно.

В случае стационарного процесса функция автокорреляции не зависит от значений моментов и , а зависит от расстояния между ними .

Автокорреляционная функция (АКФ) стационарного случайного процесса обладает следующими основными свойствами:

1. Автокорреляционная функция является чётной функцией переменной .

2. Максимальное значение функции автокорреляции достигается при и равно дисперсии случайного процесса .

АКФ является характеристикой скорости изменения (ширины спектра) случайного процесса. Широкополосный (быстроменяющийся) процесс имеет быстро уменьшающуюся АКФ, тогда как АКФ медленно меняющегося процесса также уменьшается медленно. Мерой быстродействия, скорости изменения случайного процесса служит время корреляции , которое характеризует ширину АКФ по определённому критерию.

Одним из таких критериев может быть, например, уменьшение значения АКФ в два раза по сравнению со значением её при .

Вторым критерием может быть ширина основания прямоугольника, высота которого равна дисперсии процесса, а площадь равна площади фигуры, ограниченной осями координат и кривой функции корреляции
(рис. 1).

В инженерной практике часто используется нормированная функция корреляции (коэффициент корреляции), представляющая собой отношение:

Рассмотрим функцию корреляции процесса, полученного в результате прохождения белого шума – процесса с постоянной спектральной плотностью мощности – через линейную цепь с постоянными параметрами, которая характеризуется комплексным коэффициентом передачи .

Функцию корреляции такого процесса можно найти двумя способами [1-3].

Первый способ – использование частотного метода. В этом случае ищется спектральная плотность мощности процесса :

Читайте также:  Оптимизация производственной мощности предприятия курсовая

Затем использованием обратного преобразования Винера-Хинчина находится функция корреляции:

Основным недостатком этого метода является иногда возникающая трудность вычисления интеграла в (5).

Вторым методом является временной, использующий для записи выходного процесса интеграл свёртки:

где – входной процесс, являющийся белым шумом со спектральной плотностью ;

– импульсная реакция рассматриваемой цепи.

Функция корреляции процесса может быть найдена из выражения

где учтено, что – функция корреляции белого шума.

При использовании временного метода необходимо получить выражение для импульсной реакции цепи и вычислить интеграл типа свёртки (7) с учётом основного свойства импульсной реакции физически реализуемой цепи при . При вычислении интеграла в равенстве (7) при можно непосредственно интегрировать по приведённой формуле. Для отрицательных значений можно использовать свойство чётности функции автокорреляции и дополнительного интегрирования не проводить.

Рассмотрим функции корреляции процессов на выходах трёх цепей, используемых в настоящей лабораторной работе, при действии на входе белого шума со спектральной плотностью мощности . Принципиальные схемы этих цепей приведены на рис. 2.а, 2.б, 2.в.

Рисунок 2 – Принципиальные схемы цепей, формирующих случайные процессы ,

Выражения для коэффициентов передачи и импульсных реакций указанных цепей имеют вид:

где – постоянная времени цепи (рис. 2.а),

где – постоянная времени звена двухзвенной RC-цепи (рис. 2.б)

В равенстве (13) предполагается, что потери энергии в цепи, схема которой представлена на рисунке 2, в. невелики и выполняется неравенство .

Применением временного метода можно получить следующие выражения для нормированных функций корреляции процессов , и на выходах приведённых на рисунке 2 схем электрических цепей, если на их входах действует белый шум:

Нормированная функция корреляции процесса :

Нормированная функция корреляции процесса :

Нормированная функция корреляции процесса :

Читайте также:  Рено логан максимальная мощность

3. Характеристика лабораторной установки:

Лабораторная работа выполняется с использованием пакета Simulink системы моделирования MATLAB. В основу построения модели лабораторной установки положен принцип замены вычисления среднего по множеству усреднением по времени, справедливый для стационарных случайных процессов, обладающих эргодическим свойством [1-3]. Упрощённая схема лабораторной установки представлена на рисунке 3, а блок-схема её модели – на рисунке 4.

Рисунок 3 – Упрощённая структурная схема лабораторной установки

Генератор шума (ГШ) формирует случайный широкополосный процесс, математической моделью которого является белый шум – случайный процесс с постоянной спектральной плотностью мощности. Подключая с помощью перемычек исследуемые цепи, можно сформировать описанные выше процессы , и , которые поступают на часть схемы, обведённую пунктиром, являющуюся коррелометром – измерителем коэффициента корреляции. Коррелометр представляет собой комбинацию схемы управляемой задержки, перемножителя и фильтра нижних частот, выполняющего роль интегратора по времени. Таким образом, на выходе коррелометра формируется напряжение, приблизительно пропорциональное значению функции корреляции в точке, соответствующей времени задержки одному из процессов, поступающих на перемножитель:

где – напряжение на выходе коррелометра при подаче на вход процесса ,

– время усреднения, в первом приближении равное величине, обратной полосе ФНЧ,

– время задержки, установленное положением переключателей цепи задержки,

– постоянный коэффициент, значение которого определяется значениями коэффициентов передачи усилителей и схемы перемножителя.

В связи с тем, что на выходе перемножителя возможно присутствие постоянной составляющей напряжения, наличие которой эквивалентно наличию математического ожидания в процессе , то вычисление значений нормированной функции корреляции в момент задержки целесообразно выполнять по формуле:

где – напряжение на выходе коррелометра при конкретном значении ,

– напряжение на выходе коррелометра при максимальной задержке ,

– напряжение на выходе коррелометра при .

Структурная схема Simulink-модели, соответствующая реальной установке, изображённой на рисунке 4, приведена на рисунке 3. Здесь гауссов белый шум с генератора Gaussian Noise Generator или равномерный белый шум с генератора Uniform Noise Generator сразу подаётся на входы всех трёх исследуемых цепей, а к коррелометру (блок Correlometer) выходы цепей подключаются через управляемый переключатель (блок Multiport Switch). Время задержки задаётся как единственный параметр коррелометра и меняется от 0 до 10*RC мкс. Поскольку постоянная времени RC = 1 с, то в модели максимальная задержка практически для всех цепей лежит за пределами времени корреляции каждого из процессов.

Рисунок 4 – Блок-схема модели для исследования статистических

характеристик эргодических случайных процессов

Индикация результатов моделирования тройная: три сигнала – шум n(t), выход цепи Xi(t) и траектория вычисления уровня корреляции Rx(t, tau) – передаются в рабочее пространство для последующего построения временных зависимостей, на осциллографе Scope4 можно наблюдать два последних процесса, и, наконец, на цифровом дисплее в конце времени моделирования можно получить числовую оценку уровня корреляции
Rx(tau) ≈ Rx(T, tau).

| следующая лекция ==>
Музей техники геологоразведочных работ | Компьютерная версия лаборатории гидромеханики, гидравлических машин и гидроприводов

Дата добавления: 2015-09-25 ; просмотров: 2104 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник